Дано:
- начальная скорость мяча v0 = 20 м/с
- масса мяча m (масса не указана, но она сократится в расчетах)
- ускорение свободного падения g = 9,8 м/с²
Найти: на какой высоте кинетическая энергия мяча уменьшится в 4 раза.
Решение:
Кинетическая энергия мяча на старте (на высоте 0) равна:
Eк0 = (1/2) * m * v0²
Когда мяч поднимется на некоторую высоту h, его кинетическая энергия будет меньше из-за того, что часть энергии будет преобразована в потенциальную энергию. На высоте h кинетическая энергия уменьшится в 4 раза, то есть:
Eк(h) = (1/2) * Eк0 = (1/2) * (1/2) * m * v0² = (1/4) * m * v0²
Полная механическая энергия системы (при отсутствии сопротивления воздуха) сохраняется, и на высоте h полная энергия будет:
Eобщ = Eк(h) + Eп(h)
Где Eп(h) — потенциальная энергия мяча на высоте h:
Eп(h) = m * g * h
Полная энергия системы при старте (на высоте 0) равна:
Eобщ = Eк0 = (1/2) * m * v0²
Теперь, используя закон сохранения энергии, можем записать:
(1/2) * m * v0² = (1/4) * m * v0² + m * g * h
Сокращаем массу m:
(1/2) * v0² = (1/4) * v0² + g * h
Переносим (1/4) * v0² на левую сторону:
(1/2) * v0² - (1/4) * v0² = g * h
(1/4) * v0² = g * h
Теперь подставим значения для v0 и g:
(1/4) * (20)² = 9,8 * h
100 = 9,8 * h
h = 100 / 9,8 ≈ 10,2 м
Ответ: высота, на которой кинетическая энергия мяча уменьшится в 4 раза, составляет примерно 10,2 м.