Дано:
- Момент инерции первого диска I1 = 353 г*м² = 0.353 кг*м²
- Частота вращения первого диска n = 14.8 об/с
- Время, за которое вся система остановилась, t = 5.7 с
- Количество оборотов системы за время t, N = 14.6 об
Найти: момент инерции второго диска I2.
Решение:
1. Переведем частоту вращения в угловую скорость. Частота в об/с связана с угловой скоростью ω формулой:
ω = 2π * n
ω1 = 2π * 14.8 = 92.96 рад/с.
2. Находим начальный момент импульса первого диска L1:
L1 = I1 * ω1 = 0.353 * 92.96 = 32.81 Н*м·с.
3. После того как оба диска в системе остановятся, их общий момент импульса будет равен нулю. Для остановки системы вся система должна потерять свой момент импульса, который равен разности импульса, потери которого происходят за время t. Мы можем использовать закон сохранения углового момента. После того как второй диск положен на первый, система должна иметь момент инерции I1 + I2 и угловую скорость, которая со временем уменьшалась до нуля.
4. Используем формулу для углового замедления системы:
Δω = ω1 / t, где ω1 — начальная угловая скорость.
Угловое замедление α = Δω / t = 92.96 / 5.7 = 16.31 рад/с².
5. Теперь используем формулу для работы, которая совершена, чтобы остановить систему:
Работа W = 1/2 * (I1 + I2) * (ω1)². Это работа, которая потратилась на остановку вращающейся системы. Также работа равна произведению момента инерции на угол поворота (в радианах), который можно найти через количество оборотов. Количество оборотов N = 14.6 об, в радианах это:
θ = 2π * N = 2π * 14.6 = 91.7 рад.
Работа W = M * θ, где M — момент сопротивления, равный моменту инерции всей системы:
W = (I1 + I2) * α * t.
6. Приравниваем оба выражения для работы:
1/2 * (I1 + I2) * (ω1)² = (I1 + I2) * α * t.
7. Упростим уравнение и решим его относительно I2:
1/2 * (I1 + I2) * (ω1)² = (I1 + I2) * α * t,
(I1 + I2) * (ω1)² / 2 = (I1 + I2) * α * t,
ω1² / 2 = α * t,
I2 = ω1² / 2α t - I1.
Подставляем известные значения:
I2 = (92.96)² / (2 * 16.31 * 5.7) - 0.353.
I2 = 8620.61 / 186.77 - 0.353,
I2 ≈ 46.2 кг*м².
Ответ:
Момент инерции второго диска I2 ≈ 46.2 кг*м².