Дано:
- КПД одного источника тока при замкнутом на сопротивление = 50% (или 0,5)
- Сопротивление внешней цепи Rвн, внутреннее сопротивление источника r, ЭДС источника ε — неизвестны напрямую, но мы будем использовать общую формулу для КПД и рассматривать изменения, связанные с подключением источников.
Найти:
1. КПД при последовательном соединении двух источников.
2. КПД при параллельном соединении двух источников.
Решение:
1. КПД одного источника
КПД источника тока определяется как отношение полезной мощности, которая рассеивается на внешнем сопротивлении, к общей мощности, которая выделяется в цепи. Формула для КПД:
η = Pп / Pобщ,
где Pп — полезная мощность на внешнем сопротивлении, Pобщ — полная мощность, выделяющаяся на источнике (в том числе в виде тепла на внутреннем сопротивлении).
Полезная мощность Pп = I² * Rвн,
Полная мощность Pобщ = I² * (Rвн + r).
Из условия задачи известно, что КПД одного источника тока равен 50%, то есть:
η = 0,5 = Rвн / (Rвн + r).
Отсюда можно выразить отношение сопротивлений:
Rвн / r = 1, что означает, что внешнее сопротивление и внутреннее сопротивление источника одинаковы:
Rвн = r.
2. Последовательное соединение двух источников
При последовательном соединении источников тока их ЭДС складываются, а внутренние сопротивления — тоже. Обозначим ЭДС каждого источника как ε, а его внутреннее сопротивление как r.
ЭДС при последовательном соединении будет:
ε' = 2ε.
Общее внутреннее сопротивление будет:
r' = 2r.
Теперь рассмотрим КПД системы из двух источников, соединённых последовательно. Полезная мощность будет рассчитываться через внешний ток и внешнее сопротивление, как и ранее. Однако в данном случае ток в цепи будет другой, так как ЭДС источников увеличилась, а общее внутреннее сопротивление также увеличилось.
Допустим, внешний ток I' будет рассчитываться по закону Ома:
I' = ε' / (Rвн + r') = 2ε / (Rвн + 2r).
Полезная мощность для двух источников:
Pп' = (I')² * Rвн = (2ε / (Rвн + 2r))² * Rвн.
Полная мощность для двух источников:
Pобщ' = (I')² * (Rвн + r') = (2ε / (Rвн + 2r))² * (Rвн + 2r).
Теперь находим КПД для двух источников:
η' = Pп' / Pобщ' = [(2ε / (Rвн + 2r))² * Rвн] / [(2ε / (Rвн + 2r))² * (Rвн + 2r)].
После сокращения и упрощения:
η' = Rвн / (Rвн + 2r).
Поскольку мы ранее нашли, что Rвн = r для одного источника, то подставляем это значение:
η' = r / (r + 2r) = r / 3r = 1/3 ≈ 0,333.
Таким образом, КПД при последовательном соединении двух источников будет 33,3%.
3. Параллельное соединение двух источников
При параллельном соединении напряжение на внешнем сопротивлении будет равно ЭДС источников, а ток будет делиться между источниками. ЭДС остаётся той же — ε, а общее внутреннее сопротивление можно найти по формуле для параллельного соединения сопротивлений:
1 / r' = 1 / r + 1 / r,
r' = r / 2.
Ток в цепи будет:
I'' = ε / (Rвн + r') = ε / (Rвн + r/2).
Полезная мощность для двух источников:
Pп'' = (I'')² * Rвн = (ε / (Rвн + r/2))² * Rвн.
Полная мощность для двух источников:
Pобщ'' = (I'')² * (Rвн + r') = (ε / (Rвн + r/2))² * (Rвн + r/2).
Теперь находим КПД для двух источников:
η'' = Pп'' / Pобщ'' = [(ε / (Rвн + r/2))² * Rвн] / [(ε / (Rвн + r/2))² * (Rвн + r/2)].
После сокращения и упрощения:
η'' = Rвн / (Rвн + r/2).
Подставляем, что Rвн = r:
η'' = r / (r + r/2) = r / (3r/2) = 2/3 ≈ 0,667.
Таким образом, КПД при параллельном соединении двух источников будет 66,7%.
Ответ:
а) КПД при последовательном соединении двух источников = 33,3%.
б) КПД при параллельном соединении двух источников = 66,7%.