дано:
- угол наклона плоскости α = 45°
- ускорение свободного падения g = 9,81 м/с²
- скольжение отсутствует, т.е. движение без скольжения (условие катящегося движения)
найти:
- ускорение центра масс шара a
решение:
При движении шара без скольжения на наклонной плоскости, сила тяжести делится на две компоненты:
- одна компонента направлена вдоль плоскости: F_параллель = m * g * sin(α)
- вторая компонента направлена перпендикулярно плоскости и уравновешивается нормальной силой: F_норм = m * g * cos(α)
Так как движение без скольжения, то сила трения должна обеспечивать катящееся движение. Сила трения скольжения (т.е. сила, вызывающая крутящий момент) уравновешивает момент инерции. Для катящегося движения выполняется следующее условие:
- ускорение центра масс шара a связано с угловым ускорением α через радиус R: a = R * α
Для тела, катящегося без скольжения, момент инерции относительно центра масс шара равен I = (2/5) * m * R².
Таким образом, уравнение движения шара вдоль наклонной плоскости будет следующим:
m * g * sin(α) - F_трение = m * a
где F_трение = μ * N, и N = m * g * cos(α) — нормальная сила, а μ — коэффициент трения (для катящегося тела он равен μ = 5/7).
Используя момент инерции и уравнение для катящегося движения, можно получить ускорение шара:
m * g * sin(α) = (m * a) + (I * α / R)
m * g * sin(α) = m * a + (2/5) * m * a
g * sin(α) = a * (1 + 2/5)
g * sin(α) = a * 7/5
a = (5/7) * g * sin(α)
Подставляем значения:
a = (5/7) * 9,81 * sin(45°)
a = (5/7) * 9,81 * (√2 / 2)
a ≈ 5 * 9,81 * 0,707 / 7
a ≈ 3,5 м/с²
ответ:
Ускорение центра масс шара равно 3,5 м/с².