Дано:
- Показатель политропы (n) = -1
- Изменение объема (V2 / V1) = a (объем увеличивается в a раз)
- Газ двухатомный, значит, число степеней свободы f = 5.
Найти:
КПД цикла (η) и построить его график.
Решение:
1. Определим параметры процесса. Для политропного процесса:
P * V^n = const
При n = -1:
P * V^(-1) = const
Это означает, что P = C / V, где C - постоянная.
2. Начальные и конечные состояния:
- Состояние 1: P1, V1, T1
- Состояние 2: P2, V2 = a * V1, T2.
3. Из уравнения состояния идеального газа:
P1 * V1 = n * R * T1
P2 * V2 = n * R * T2.
4. Используем закон Бойля-Мариотта для определения P2:
P2 = P1 * (V1 / V2)^n = P1 * (1 / a)^{-1} = P1 * a.
5. Теперь находим температуры:
T2 = (P2 * V2) / (n * R) = (P1 * a * V1) / (n * R).
6. Найдем работу, совершаемую газом в процессе:
W = ∫ P dV = ∫ (C / V) dV от V1 до V2.
W = C * ln(V2 / V1) = C * ln(a).
7. КПД цикла можно выразить как:
η = (Q_in - Q_out) / Q_in,
где Q_in — количество теплоты, подведенное к газу, а Q_out — количество теплоты, отданное газом.
8. Для изохорного и изобарного процессов:
Q_in = n * C_v * (T2 - T1) + n * R * (T2 - T1).
9. В политропном процессе:
Q_out = n * C_v * (T3 - T2).
10. Общая работа цикла W = Q_in - Q_out.
11. Подставим все найденные значения в формулу для КПД:
η = 1 - T1 / T2.
12. Подсчитаем значения:
T1 = T1, T2 = T1 * a (поскольку объем и температура изменяются пропорционально).
13. Подставляем в КПД:
η = 1 - T1 / (T1 * a) = 1 - 1 / a.
График:
- По оси X: объем, по оси Y: давление.
- Процесс будет представлять собой циклическую кривую, состоящую из:
1. Политропный процесс с увеличением объема и давления.
2. Изохорный процесс (вертикальная линия).
3. Изобарный процесс (горизонтальная линия).
Ответ:
КПД цикла равен 1 - 1/a. График представляет собой замкнутый контур, показывающий процессы в цикле.