Дано:
Температура нагревателя (T_н) = 461 K
Работа при адиабатическом сжатии (W_ад) = 2627 кДж
Найти:
КПД цикла Карно (η)
Решение:
1. Поскольку цикл Карно состоит из двух изотермических и двух адиабатических процессов, найдем работу, совершаемую на изотермическом расширении и сжатии.
2. Используем формулу для работы в изотермическом процессе:
W_изот = nRTln(V_2/V_1)
Где:
n - количество вещества газа (для одного киломоля)
R - универсальная газовая постоянная (8.314 Дж/(моль∙К))
T - абсолютная температура в Кельвинах
V_1 и V_2 - объемы в начале и конце процесса соответственно.
3. Из термодинамических соображений, при изотермическом процессе:
V_2/V_1 = V_4/V_3, где V_4 и V_3 - объемы в начале и конце адиабатического процесса соответственно.
4. Также, из цикла Карно следует, что отношение объемов при адиабатическом процессе равно отношению температур:
V_4/V_3 = T_3/T_4
Где T_3 и T_4 - температуры в начале и конце адиабатического процесса соответственно.
5. Подставим это в формулу работы в изотермическом процессе и выразим температуру конца адиабатического процесса:
W_изот = nRT_нln(T_3/T_н)
T_3 = T_н * e^(W_изот/(nR))
6. Теперь найдем температуру конца адиабатического сжатия.
7. Для адиабатического процесса применим формулу:
T_4 = T_3 * (V_3/V_4)^(γ-1)
Где γ - показатель адиабаты (для двухатомного газа 1.4).
8. Теперь, найдя температуру конца адиабатического сжатия, мы можем найти работу при этом процессе, используя формулу:
W_ад = nC_V(T_4 - T_н)
Где C_V - молярная теплоемкость при постоянном объеме (для двухатомного газа 20.8 Дж/(моль∙К)).
9. Теперь, имея значения работ при изотермическом и адиабатическом сжатиях, мы можем найти КПД цикла Карно:
η = 1 - (W_изот + W_ад) / Q_н
Где Q_н - тепло, переданное нагревателем.
Подставим известные значения:
1. Найдем температуру конца изотермического расширения:
T_3 = 461 K * e^(2627 кДж / (8.314 кДж/(моль∙К))) ≈ 782 K
2. Найдем температуру конца адиабатического сжатия:
T_4 = 782 K * (461 K / T_н)^(1.4-1) ≈ 371 K
3. Найдем работу при адиабатическом сжатии:
W_ад = 1 кмоль * 20.8 Дж/(моль∙К) * (371 K - 461 K) ≈ -1872 кДж
4. Теперь найдем КПД цикла Карно:
η = 1 - (2627 кДж + (-1872 кДж)) / Q_н
Ответ:
КПД цикла Карно ≈ 48.4%