Дано:
- ускорение свободного падения на поверхности Земли g = 9.81 м/с²
- хотим найти высоту h, на которой g' = g / 2
Найти: высота h.
Решение:
1. Ускорение свободного падения на расстоянии r от центра Земли определяется по формуле:
g' = G * MЗем / r²
Здесь G – гравитационная постоянная, MЗем – масса Земли.
2. На поверхности Земли:
g = G * MЗем / RЗем²
Где RЗем – радиус Земли.
3. Подставим значение g' в уравнение:
g / 2 = G * MЗем / r²
4. Теперь выразим r через RЗем и h:
r = RЗем + h
5. Подставим это значение в уравнение для g':
g / 2 = G * MЗем / (RЗем + h)²
6. Установим равенство:
(G * MЗем) / (RЗем)² = g
7. Подставим это в уравнение для g':
g / 2 = (g * RЗем²) / (RЗем + h)²
8. Упростим уравнение:
1/2 = RЗем² / (RЗем + h)²
9. Перепишем уравнение:
(RЗем + h)² = 2 * RЗем²
10. Извлечем квадратный корень:
RЗем + h = RЗем * √2
11. Выразим h:
h = RЗем * √2 - RЗем
12. Упростим результат:
h = RЗем(√2 - 1)
13. Подставим значение RЗем ≈ 6.371 * 10^6 м:
h ≈ (6.371 * 10^6)(√2 - 1)
14. Значение √2 ≈ 1.414:
h ≈ (6.371 * 10^6)(1.414 - 1) ≈ (6.371 * 10^6)(0.414) ≈ 2.64 * 10^6 м
Ответ:
Высота, на которой ускорение свободного падения в 2 раза меньше, составляет примерно 2.64 * 10^6 м.