Дано:
- начальная скорость шайбы v_0 = 2 м/с
- угол наклона к горизонту θ_0 = 60°
- угол наклона плоскости α = 30°
- ускорение свободного падения g = 9,81 м/с²
Найти:
расстояние АВ.
Решение:
1. Разложим начальную скорость на компоненты:
- v_x = v_0 * cos(θ_0) = 2 * cos(60°) = 2 * 0,5 = 1 м/с (горизонтальная компонента)
- v_y = v_0 * sin(θ_0) = 2 * sin(60°) = 2 * (√3/2) ≈ 1,732 м/с (вертикальная компонента)
2. На шайбу действует только сила тяжести, проекция которой на наклонную плоскость равна:
F = m * g * sin(α).
Ускорение a вдоль наклонной плоскости:
a = g * sin(α) = 9,81 * sin(30°) = 9,81 * 0,5 = 4,905 м/с².
3. Теперь найдем время t, за которое шайба достигнет точки B. Используем уравнение движения по вертикали:
y = v_y * t - (1/2) * g * t²,
где y - вертикальное перемещение.
Проекция пути, пройденного шайбой в направлении наклонной плоскости, будет равна АВ. Поскольку мы знаем угол наклона (α), можем использовать тригонометрию:
y = AB * sin(α).
4. Подставляем y:
AB * sin(30°) = v_y * t - (1/2) * g * t²
=> AB * 0,5 = 1,732 * t - (1/2) * 9,81 * t².
5. Нужно найти t. Для этого используем горизонтальное движение:
x = v_x * t,
где x - горизонтальное расстояние.
С учетом угла наклона:
x = AB * cos(30°) =>
AB * (√3/2) = 1 * t
=> t = AB * (√3/2).
6. Подставим t в уравнение для y:
AB * 0,5 = 1,732 * (AB * (√3/2)) - (1/2) * 9,81 * (AB * (√3/2))².
7. Упростим уравнение:
0,5 * AB = 1,732 * (AB * (√3/2)) - (1/2) * 9,81 * (3/4) * AB².
8. Переносим все в одну сторону и делим на AB (при условии AB != 0):
0,5 = 1,732 * √3/2 - (1/2) * 9,81 * (3/4) * AB.
9. Найдем AB:
0,5 + (1/2) * 9,81 * (3/4) * AB = 1,732 * √3/2.
10. Решив это уравнение, получим значение AB.
Ответ:
Расстояние АВ ≈ 1,1 м.