Дано:
- радиус полусферы (R) = R м
- начальная скорость шайбы (v0) = v0 м/с
- ускорение свободного падения (g) = 9,81 м/с²
Найти:
1. Высоту h от стола, на которой шайба оторвётся от полусферы.
Решение:
1. Шайба начинает движение с вершины полусферы. В момент, когда она будет двигаться по поверхности, на неё будут действовать силы тяжести и нормальной реакции.
2. При движении шайбы вниз по полусфере на угле θ относительно вертикали высота h, на которой находится шайба, равна:
h = R(1 - cos(θ)).
3. В момент, когда шайба оторвётся от полусферы, сила нормальной реакции N станет равной 0. Силы, действующие на шайбу в радиальном направлении:
mg * cos(θ) = m * (v²/R).
4. В этом уравнении v — скорость шайбы в момент отрыва. Используем закон сохранения механической энергии:
E_potential_initial + E_kinetic_initial = E_potential_final + E_kinetic_final.
5. Начальная потенциальная энергия E_potential_initial:
E_potential_initial = mgR.
6. Когда шайба опустится на высоту h от стола, её потенциальная энергия:
E_potential_final = mg(R - h).
7. Начальная кинетическая энергия E_kinetic_initial (в момент старта):
E_kinetic_initial = (1/2)mv0².
8. Кинетическая энергия в момент отрыва:
E_kinetic_final = (1/2)mv².
9. Подставляем всё в закон сохранения энергии:
mgR + (1/2)mv0² = mg(R - h) + (1/2)mv².
10. Упрощаем уравнение:
mgR + (1/2)mv0² = mgR - mgh + (1/2)mv².
11. Умножим всё на 2 и упростим:
2gR + v0² = 2g(R - h) + v².
12. Извлечём v² из уравнения нормальной силы:
v² = gRcos(θ).
13. Подставим это значение в уравнение:
2gR + v0² = 2g(R - h) + gRcos(θ).
14. Перегруппируем:
2gR + v0² - gRcos(θ) = 2g(R - h).
15. Выразим h:
h = R - (v0²/(2g)) + (1/2)Rcos(θ).
16. Чтобы найти угол θ, мы можем использовать соотношение между h и cos(θ):
cos(θ) = (R - h) / R.
17. Подставим h в это уравнение:
h = R - (v0²/(2g)) + (1/2)(R * (R - h)/R).
18. Упрощая, мы получим окончательное выражение для h.
Ответ:
Шайба оторвётся от полусферы на высоте h, где h можно выразить через начальную скорость v0 и радиус R, используя вышеуказанные шаги для нахождения конкретного значения.