Question

Цилиндры массами m1 = 100 г и m2 = 150 г подвешены с помощью одного подвижного и одного неподвижного блоков (рис. 12.4). Нить лёгкая и нерастяжимая, трением в блоках и их массой можно пренебречь.
а) Запишите соотношение между проекциями ускорений цилиндров.
б) Запишите второй закон Ньютона для каждого цилиндра в проекциях на ось х в виде системы уравнений. Обозначьте модуль силы натяжения нити Т.
в) Используя полученные уравнения, найдите выражения для проекций ускорений цилиндров через их массы.
г) Как направлены ускорения первого и второго цилиндров?
д) Выразите силу натяжения нити через массы цилиндров.
е) Чему равен вес каждого цилиндра?

Answer 1

Дано:
- Масса первого цилиндра m1 = 100 г = 0,1 кг
- Масса второго цилиндра m2 = 150 г = 0,15 кг
- Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с²

Найти:
а) Соотношение между проекциями ускорений цилиндров.
б) Записать второй закон Ньютона для каждого цилиндра в проекциях на ось х в виде системы уравнений.
в) Найти выражения для проекций ускорений цилиндров через их массы.
г) Направление ускорений.
д) Выразить силу натяжения нити через массы цилиндров.
е) Найти вес каждого цилиндра.

Решение:
а) Соотношение между проекциями ускорений цилиндров:

Так как нить нерастяжимая и оба цилиндра подвешены на одной нити, ускорение их движений будет одинаковым по величине, но направленным в противоположные стороны. Таким образом, соотношение между ускорениями цилиндров:
a1 = a2.

б) Второй закон Ньютона для каждого цилиндра:

Для первого цилиндра с массой m1:
m1 * a = T - m1 * g, где T — сила натяжения нити.

Для второго цилиндра с массой m2:
m2 * a = m2 * g - T.
где a — ускорение, T — сила натяжения нити, g — ускорение свободного падения.

в) Найдем выражения для ускорений через массы цилиндров.

Сложим два уравнения:
m1 * a = T - m1 * g,
m2 * a = m2 * g - T.

При сложении:
m1 * a + m2 * a = m2 * g - m1 * g,
a * (m1 + m2) = g * (m2 - m1),
a = g * (m2 - m1) / (m1 + m2).

Теперь подставим значения масс:
a = 9,8 * (0,15 - 0,1) / (0,1 + 0,15),
a = 9,8 * 0,05 / 0,25,
a = 1,96 м/с².

г) Направление ускорений:

Ускорение первого цилиндра направлено вверх, а второго цилиндра — вниз, так как масса второго цилиндра больше, и он будет опускаться, а первый цилиндр подниматься.

д) Выразим силу натяжения нити:

Используем уравнение для первого цилиндра:
m1 * a = T - m1 * g.

Тогда сила натяжения:
T = m1 * a + m1 * g.

Подставим значения:
T = 0,1 * 1,96 + 0,1 * 9,8,
T = 0,196 + 0,98,
T = 1,176 Н.

е) Вес каждого цилиндра:

Вес первого цилиндра:
W1 = m1 * g = 0,1 * 9,8 = 0,98 Н.

Вес второго цилиндра:
W2 = m2 * g = 0,15 * 9,8 = 1,47 Н.

Ответ:
- Ускорение цилиндров a = 1,96 м/с².
- Сила натяжения нити T = 1,176 Н.
- Вес первого цилиндра W1 = 0,98 Н.
- Вес второго цилиндра W2 = 1,47 Н.