Дано:
m1 = 400 г = 0,4 кг (масса бруска),
m2 = 100 г = 0,1 кг (масса цилиндра),
α = 30° (угол наклона плоскости),
g = 9,8 м/с² (ускорение свободного падения).
Необходимо найти:
а) Соотношение между проекциями ускорений бруска и цилиндра на соответствующие оси координат.
б) Второй закон Ньютона для бруска и цилиндра в проекциях на оси координат.
в) Проекцию ускорения бруска на ось х1 через массы бруска и цилиндра и угол наклона плоскости.
г) Направления ускорений бруска и цилиндра.
д) Ускорения бруска и цилиндра.
а) Соотношение между проекциями ускорений бруска и цилиндра
Поскольку нить нерастяжимая и лёгкая, ускорение бруска и цилиндра будет одинаковым по модулю. Это означает, что проекции ускорений бруска и цилиндра на ось х1 будут одинаковыми по величине:
a1 = a2
б) Второй закон Ньютона для бруска и цилиндра
Для бруска, который скользит по наклонной плоскости, действуют следующие силы:
1. Сила тяжести m1 * g, её проекция на ось х1 равна m1 * g * sin(α).
2. Сила натяжения нити T, действующая вдоль плоскости.
Применим второй закон Ньютона для бруска по оси х1:
m1 * a1 = T - m1 * g * sin(α) (1)
Для цилиндра действуют следующие силы:
1. Сила тяжести m2 * g, её проекция на ось y равна m2 * g.
2. Сила натяжения нити T, действующая вдоль оси y.
Применим второй закон Ньютона для цилиндра по оси y:
m2 * a2 = m2 * g - T (2)
в) Проекция ускорения бруска на ось х1
Мы знаем, что ускорения бруска и цилиндра одинаковы по модулю, то есть a1 = a2 = a. Тогда из уравнений (1) и (2) можно выразить ускорение.
Из уравнения (1) для бруска:
m1 * a = T - m1 * g * sin(α)
Из уравнения (2) для цилиндра:
m2 * a = m2 * g - T
Сложим оба уравнения:
m1 * a + m2 * a = m2 * g - m1 * g * sin(α)
a * (m1 + m2) = g * (m2 - m1 * sin(α))
Теперь выражаем ускорение a:
a = g * (m2 - m1 * sin(α)) / (m1 + m2)
г) Направление ускорений
Ускорение бруска будет направлено по наклонной плоскости вниз (вдоль оси х1), а ускорение цилиндра будет направлено вертикально вниз, так как цилиндр опускается под действием силы тяжести, натягивая нить.
д) Ускорения бруска и цилиндра
Теперь можем подставить численные значения в полученную формулу для ускорения:
a = g * (m2 - m1 * sin(α)) / (m1 + m2)
a = 9,8 * (0,1 - 0,4 * sin(30°)) / (0,4 + 0,1)
a = 9,8 * (0,1 - 0,4 * 0,5) / 0,5
a = 9,8 * (0,1 - 0,2) / 0,5
a = 9,8 * (-0,1) / 0,5
a = -1,96 м/с²
Отрицательное значение ускорения говорит о том, что брусок будет двигаться вверх, а цилиндр опустится вниз. Ускорение бруска и цилиндра одинаково по величине, но направлено противоположно.
Ответ: Ускорения бруска и цилиндра равны 1,96 м/с².