Дано:
- масса камня m = 100 г = 0,1 кг,
- угол броска α = 30°,
- начальная скорость V₀ = 20 м/с,
- ускорение свободного падения g ≈ 9,81 м/с².
Найти:
а) время t_min, через который модуль импульса камня принимает минимальное значение.
б) модуль изменения импульса ΔP за промежуток времени t_min.
в) модуль изменения импульса ΔP_total за всё время полёта.
Решение:
а) Чтобы найти время t_min, когда модуль импульса минимален, нужно определить момент, когда вертикальная компонента скорости станет нулевой.
Вертикальная составляющая начальной скорости V₀y:
V₀y = V₀ * sin(α) = 20 * sin(30°) = 20 * 0,5 = 10 м/с.
Время подъема до максимальной высоты t_up вычисляется по формуле:
t_up = V₀y / g = 10 / 9,81 ≈ 1,02 с.
Значит, t_min = t_up ≈ 1,02 с.
б) Модуль изменения импульса ΔP за время t_min можно найти как разницу между начальным и конечным импульсом в этот момент времени.
Начальный импульс P₀:
P₀ = m * V₀ = 0,1 * 20 = 2 кг·м/с.
На максимальной высоте вертикальная скорость равна нулю, поэтому:
P_max = m * V₀x,
где V₀x = V₀ * cos(α) = 20 * cos(30°) = 20 * (√3 / 2) ≈ 17,32 м/с.
Таким образом:
P_max = 0,1 * 17,32 = 1,732 кг·м/с.
Модуль изменения импульса:
ΔP = P₀ - P_max = 2 - 1,732 = 0,268 кг·м/с.
в) Общее время полета T рассчитывается по формуле:
T = 2 * t_up ≈ 2 * 1,02 ≈ 2,04 с.
Изменение импульса за всё время полета:
На земле (в конце полета):
P_final = m * 0 = 0.
Так что:
ΔP_total = P₀ - P_final = 2 - 0 = 2 кг·м/с.
Ответы:
а) Время t_min ≈ 1,02 с.
б) Модуль изменения импульса ΔP ≈ 0,268 кг·м/с.
в) Модуль изменения импульса ΔP_total = 2 кг·м/с.