Дано:
- масса шара m = 250 г = 0,25 кг,
- радиус окружности R = 25 см = 0,25 м,
- период T одного полного оборота = 2,4 с.
Найти:
модуль изменения импульса шара за время t = 0,4 с.
Решение:
1. Найдем скорость шара V. Скорость при равномерном движении по окружности определяется формулой:
V = S / T,
где S — длина окружности, которая равна 2 * π * R.
Сначала найдем S:
S = 2 * π * R = 2 * π * 0,25 = 0,5π м.
Теперь подставим в формулу для скорости:
V = S / T = (0,5π) / 2,4 ≈ 0,654 м/с.
2. Теперь определим угловую скорость ω шара:
ω = 2π / T = 2π / 2,4 ≈ 2,618 рад/с.
3. Найдем изменение скорости шара за время t = 0,4 с. Поскольку движение по окружности является криволинейным, изменение направления скорости будет происходить, но модуль скорости останется постоянным.
Угол поворота θ за время t можно найти так:
θ = ω * t = 2,618 * 0,4 ≈ 1,047 рад.
4. Теперь проведем расчет изменения импульса шара. Импульс P шара равен:
P = m * V.
Поскольку направление скорости изменяется, нужно рассмотреть векторы начального и конечного импульсов.
Для простоты можно использовать координаты. Начальная скорость V₁ соответствует углу 0, а конечная скорость V₂ будет соответствовать углу θ.
Координаты начальной скорости V₁:
V₁x = V * cos(0) = V,
V₁y = V * sin(0) = 0.
Координаты конечной скорости V₂:
V₂x = V * cos(θ) = V * cos(1,047),
V₂y = V * sin(θ) = V * sin(1,047).
Подставим значение V ≈ 0,654 м/с:
V₂x = 0,654 * cos(1,047) ≈ 0,654 * 0.5 = 0,327 м/с,
V₂y = 0,654 * sin(1,047) ≈ 0,654 * 0.866 = 0,566 м/с.
5. Теперь мы можем найти начальный и конечный импульсы:
P₁ = m * V₁ = 0,25 * (0,654, 0) = (0,1635, 0) кг·м/с,
P₂ = m * V₂ = 0,25 * (0,327, 0,566) ≈ (0,08175, 0,1415) кг·м/с.
6. Изменение импульса ΔP:
ΔP = P₂ - P₁ = (0,08175 - 0,1635, 0,1415 - 0).
Теперь найдем модуль изменения импульса:
|ΔP| = √[(0,08175 - 0,1635)² + (0,1415 - 0)²].
Вычислим это:
|ΔP| = √[(-0,08175)² + (0,1415)²] = √[0,006693 + 0,020073] ≈ √[0,026766] ≈ 0,164 Н·с.
Ответ: Модуль изменения импульса шара за 0,4 с равен примерно 0,164 Н·с.