Question

Стартовавшая с поверхности Земли двухступенчатая ракета массой 1 т в некоторый момент находится на высоте 1,5 км над поверхностью Земли и движется вверх со скоростью 3 км/с. В этот момент от ракеты «отстреливается» вертикально вниз относительно ракеты первая ступень, а скорость второй ступени возрастает при этом до 7,35 км/с. Первая ступень падает на землю через 30 с после отделения. Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.
а) Чему равна и как направлена скорость первой ступени относительно Земли сразу после отделения?
б) Чему равна масса первой ступени?

Answer 1

дано:  
масса ракеты до отделения (M) = 1 т = 1000 кг  
высота над поверхностью Земли = 1,5 км = 1500 м  
скорость ракеты вверх относительно Земли (V0) = 3 км/с = 3000 м/с  
скорость второй ступени после отделения (V2) = 7,35 км/с = 7350 м/с  
время падения первой ступени (t) = 30 с  

найти:  
а) скорость первой ступени относительно Земли сразу после отделения  
б) массу первой ступени  

решение:  

а) Применим закон сохранения импульса для определения скорости первой ступени после отделения. Обозначим массу первой ступени как m1, тогда масса второй ступени будет M - m1.

Согласно закону сохранения импульса:
(m1 * V1) + ((M - m1) * V2) = M * V0,
где V1 - скорость первой ступени сразу после отделения.

Перепишем уравнение:
m1 * V1 + (M - m1) * V2 = M * V0

Выразим V1:
V1 = (M * V0 - (M - m1) * V2) / m1.

Однако чтобы найти V1, нам нужно знать m1. Сначала найдем направление скорости. После отделения первая ступень будет двигаться вниз. Поскольку скорость ракеты увеличивается при отделении, мы имеем:
V1 = V0 - deltaV,
где deltaV = V2 - V0.

Теперь подставим известные значения:
deltaV = 7350 м/с - 3000 м/с = 4350 м/с.

Тогда:
V1 = V0 - deltaV = 3000 м/с - 4350 м/с = -1350 м/с.  

Отрицательный знак указывает на то, что скорость направлена вниз.

Ответ:  
скорость первой ступени относительно Земли сразу после отделения V1 = -1350 м/с (направлена вниз).  

б) Для нахождения массы первой ступени используем уравнение:
V1 = (M * V0 - (M - m1) * V2) / m1.

Также можно использовать уравнение движения для первой ступени. Мы знаем, что она падает через 30 секунд. Используя уравнение движения:
h = V1 * t + 0.5 * g * t^2,
где h = 1500 м (начальная высота), g = 9.81 м/с² (ускорение свободного падения).

Подставляя значения и решая для m1:
1500 = (-1350) * 30 + 0.5 * 9.81 * (30^2)
1500 = -40500 + 0.5 * 9.81 * 900
1500 = -40500 + 4414.5

Сложив и упростив уравнение, получаем:
45000 = 4414.5 + m1 * (V2 - V0).

Теперь подставляем значения:
45000 = 4414.5 + m1 * (7350 - 3000).

Теперь остаётся решить:
45000 - 4414.5 = m1 * (7350 - 3000)
40585.5 = m1 * 4350
m1 = 40585.5 / 4350
m1 ≈ 9.32 кг.  

Ответ:  
масса первой ступени m1 ≈ 9.32 кг.