Дано:
- начальная скорость v_0 = 15 м/с
- конечная скорость v = v_0 / 3 = 15 / 3 = 5 м/с
- ускорение свободного падения g = 9.81 м/с²
Найти: высоту h, на которой скорость камня составляет 5 м/с, и угол броска α.
Решение:
1. Определим вертикальную составляющую начальной скорости:
v_0y = v_0 * sin(α).
2. При достижении высоты h, вертикальная скорость v_y будет равна 5 м/с. Используем уравнение движения для вертикальной скорости:
v_y^2 = v_0y^2 - 2gh.
Подставим значения:
5^2 = (15 * sin(α))^2 - 2 * 9.81 * h,
25 = 225 * sin²(α) - 19.62h.
3. Перепишем уравнение по h:
19.62h = 225 * sin²(α) - 25,
h = (225 * sin²(α) - 25) / 19.62.
4. Теперь найдем угол α. Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии. Начальная кинетическая энергия равна потенциальной энергии на высоте h плюс кинетическая энергия в момент времени, когда скорость стала равной 5 м/с:
(1/2) * m * v_0² = m * g * h + (1/2) * m * v².
Упрощаем (м уходит):
(1/2) * 15² = 9.81 * h + (1/2) * 5²,
(1/2) * 225 = 9.81h + (1/2) * 25,
112.5 = 9.81h + 12.5.
5. Решим это уравнение для h:
112.5 - 12.5 = 9.81h,
100 = 9.81h,
h = 100 / 9.81 ≈ 10.19 м.
6. Теперь подставим полученное h в уравнение 3:
10.19 = (225 * sin²(α) - 25) / 19.62,
10.19 * 19.62 = 225 * sin²(α) - 25,
199.05 + 25 = 225 * sin²(α),
224.05 = 225 * sin²(α),
sin²(α) = 224.05 / 225 ≈ 0.995.
7. Находим угол α:
sin(α) = √0.995 ≈ 0.9975,
α ≈ arcsin(0.9975) ≈ 82.8°.
Ответ:
Камень достигнет скорости 5 м/с на высоте около 10.19 м, и угол броска мог составлять примерно 82.8°.