дано:
начальная скорость v0 = 20 м/с,
ускорение свободного падения g = 9.81 м/с².
найти:
высоту, на которой скорость камня уменьшится вдвое.
решение:
разобьем начальную скорость на горизонтальную и вертикальную компоненты. Пусть угол броска равен θ, тогда:
v0x = v0 * cos(θ) (горизонтальная компонента),
v0y = v0 * sin(θ) (вертикальная компонента).
скорость камня уменьшается вдвое, значит, новая вертикальная скорость будет равна:
v_y = v0y / 2 = (v0 * sin(θ)) / 2.
по закону сохранения энергии для вертикальной составляющей движения можем использовать уравнение:
v_y^2 = v0y^2 - 2 * g * h.
подставим значение v_y:
(v0 * sin(θ) / 2)^2 = (v0 * sin(θ))^2 - 2 * g * h.
раскроем скобки:
(v0^2 * sin^2(θ) / 4) = v0^2 * sin^2(θ) - 2 * g * h.
переносим все в одну сторону:
0 = 3 * v0^2 * sin^2(θ) / 4 - 2 * g * h.
выразим h:
h = (3 * v0^2 * sin^2(θ)) / (8 * g).
так как нам неизвестен угол θ, но мы можем найти максимальную высоту h_max, где вся энергия переходит в потенциальную. Для этого используем следующую формулу:
h_max = (v0y^2) / (2 * g) = (v0^2 * sin^2(θ)) / (2 * g).
если мы знаем, что скорость вдвое меньше, то можем выразить это через отношение. Поскольку мы ищем точное значение высоты без угла, можно также сказать, что высота, на которой скорость уменьшится вдвое, будет составлять 3/8 от максимальной высоты.
подставив значения:
h_max = (20^2 * sin^2(θ)) / (2 * 9.81).
но для расчета конкретного значения h давайте просто найдем его:
h = (3 * 20^2 * sin^2(θ)) / (8 * 9.81).
находим максимальную высоту с sin^2(θ) = 1 (максимальное значение):
h_max = (20^2) / (2 * 9.81) = 400 / 19.62 ≈ 20.39 м.
тогда:
h = (3/8) * h_max = (3/8) * 20.39 ≈ 7.64 м.
ответ:
высота, на которой скорость камня уменьшится вдвое, составляет approximately 7.64 м.