дано:
- радиус цилиндра R = 30 см = 0.3 м
- высота, на которой шайба должна оторваться от цилиндра h = 40 см = 0.4 м
- ускорение свободного падения g = 9.81 м/с²
а) найдем модуль наименьшей начальной горизонтально направленной скорости v1, которую надо сообщить шайбе, чтобы она совершила полный оборот по окружности.
в соответствии с условиями задачи шайба должна получить минимальную скорость в верхней точке, чтобы не упасть. В верхней точке (высота R) нужна центростремительная сила, которая равна силе тяжести:
m * v^2 / R = m * g
где:
m - масса шайбы,
v - скорость шайбы в верхней точке.
Сокращаем массу m и получаем:
v^2 / R = g
или
v^2 = g * R
подставим значения:
v^2 = 9.81 м/с² * 0.3 м
v^2 = 2.943 м²/с²
тогда
v = √(2.943) ≈ 1.72 м/с.
Зная, что эта скорость v является скоростью шайбы в верхней точке, найдем начальную скорость v1, используя закон сохранения энергии. Начальная кинетическая энергия будет равна сумме потенциальной энергии и кинетической энергии в верхней точке:
(1/2) * m * v1² = m * g * 2R + (1/2) * m * v²
Сократим массу m и подставим известные значения:
(1/2) * v1² = g * 2R + (1/2) * v²
(1/2) * v1² = 9.81 * 2 * 0.3 + (1/2) * (2.943)
Упростим уравнение:
(1/2) * v1² = 5.88 + 1.4715
(1/2) * v1² = 7.3515
тогда
v1² = 14.703
v1 = √(14.703) ≈ 3.84 м/с.
ответ: v1 ≈ 3.84 м/с.
б) найдем модуль начальной горизонтально направленной скорости v2, которую надо сообщить шайбе, чтобы она оторвалась от цилиндра на высоте 40 см.
Для того чтобы шайба оторвалась, необходимо, чтобы центростремительная сила равнялась нулю в момент отрыва, то есть:
m * v2^2 / R = m * g * (h - R)
где h = 0.4 м, R = 0.3 м, высота отрыва h - R = 0.1 м.
Опять сокращаем массу m:
v2^2 / R = g * (h - R)
или
v2^2 = g * R * (h/R - 1)
подставляем значения:
v2^2 = 9.81 * 0.3 * (0.4/0.3 - 1)
v2^2 = 9.81 * 0.3 * (1.333 - 1)
v2^2 = 9.81 * 0.3 * 0.333
затем:
v2^2 = 0.9796
v2 = √(0.9796) ≈ 0.99 м/с.
ответ: v2 ≈ 0.99 м/с.