дано:
- радиус окружности r = 0,3 м
- высота h = 0,4 м
- масса шайбы m = 50 г = 0,05 кг
- ускорение свободного падения g = 9,81 м/с²
а) найдем высоту Н, с которой шайба начинала движение.
по закону сохранения механической энергии, начальная потенциальная энергия на высоте Н равна сумме потенциальной энергии на высоте h и кинетической энергии, когда шайба достигает высоты h.
начальная потенциальная энергия: Ep1 = m * g * H.
потенциальная энергия на высоте h: Ep2 = m * g * h.
кинетическая энергия при отрыве: Ek = (1/2) * m * v².
поэтому уравнение можно записать как:
m * g * H = m * g * h + (1/2) * m * v².
после сокращения массы m получаем:
g * H = g * h + (1/2) * v².
также знаем, что на высоте h шайба отрывается от жёлоба, значит, в этот момент центростремительная сила должна быть равна нулю.
для определения скорости v в момент отрыва используем уравнение для потенциальной и кинетической энергии. на высоте h, где шайба начинает подниматься по окружности, высота над уровнем центра окружности будет:
h' = h - r = 0,4 м - 0,3 м = 0,1 м.
в этом случае у нас есть:
m * g * h' = (1/2) * m * v².
сокращая массу m:
g * h' = (1/2) * v².
подставим h':
g * 0,1 м = (1/2) * v².
v² = 2 * g * 0,1.
v² = 2 * 9,81 * 0,1 = 1,962.
поэтому:
v = √(1,962) ≈ 1,4 м/с.
теперь подставим значение v обратно в уравнение сохранения энергии:
g * H = g * h + (1/2) * v²,
H = h + (1/2g) * v²/g.
подставим известные значения:
H = 0,4 + (1/2 * 9,81) * 1,962 / 9,81
H = 0,4 + 0,1 = 0,5 м.
ответ: H = 0,5 м.
б) найдём силу, с которой шайба давит на жёлоб, когда она находится на одной высоте с центром окружности.
в этот момент шайба испытывает две силы:
1. силу тяжести mg, направленную вниз.
2. нормальную силу N, оказываемую на шайбу со стороны жёлоба.
высота h на уровне центра окружности равна r = 0,3 м. на этой высоте шайба движется по окружности, поэтому необходимо учитывать центростремительное ускорение a_c = v²/r.
из второго закона Ньютона в вертикальном направлении имеем:
N - mg = m * a_c.
так как a_c = v²/r, то уравнение можно записать как:
N - mg = m * (v²/r).
реорганизуя уравнение, получим:
N = mg + m * (v²/r).
теперь подставим известные значения:
N = 0,05 * 9,81 + 0,05 * (1,4² / 0,3).
N = 0,4905 + 0,05 * (1,96 / 0,3).
N = 0,4905 + 0,05 * 6,5333.
N = 0,4905 + 0,3267.
N ≈ 0,8172 Н.
ответ: N ≈ 0,82 Н.