Question

На покоящуюся на гладком столе гладкую горку налетает шайба (рис. 20.2, а). Масса горки М = 200 г, её высота Н = 20 см, масса шайбы m = 20 г. Когда шайба скользит по горке, она не отрывается от горки. В конечном состоянии горка и шайба движутся как единое целое (рис. 20.2, б).
а) Сохраняется ли суммарный импульс горки и шайбы при их взаимодействии?
б) Сохраняется ли проекция суммарного импульса горки и шайбы на горизонтальную ось х?
в) Запишите уравнение, выражающее сохранение проекции суммарного импульса горки и шайбы на горизонтальную ось х. Обозначьте общую конечную скорость шайбы и горки V.
г) Сохраняется ли суммарная механическая энергия горки и шайбы?
д) Запишите уравнение, выражающее сохранение суммарной механической энергии горки и шайбы.
е) С помощью полученной системы уравнений выведите выражения для конечной скорости горки с шайбой V и начальной скорости шайбы v0 и найдите их значения.

Answer 1

Дано:  
Масса горки, M = 200 г = 0.2 кг  
Высота горки, Н = 20 см = 0.2 м  
Масса шайбы, m = 20 г = 0.02 кг  
Начальная скорость шайбы, v0 = ?  
Конечная скорость горки и шайбы, V = ?  

Найти:  
1. Конечную скорость V  
2. Начальную скорость шайбы v0  

Решение:

а) Суммарный импульс системы (горка + шайба) сохраняется, если на систему не действуют внешние силы. В данном случае, взаимодействие происходит только между шайбой и горкой.

б) Проекция суммарного импульса системы на горизонтальную ось сохраняется, так как нет внешних сил вдоль этой оси.

в) Уравнение сохранения проекции суммарного импульса на горизонтальную ось можно записать как:
m * v0 = (M + m) * V

г) Суммарная механическая энергия системы не сохраняется, поскольку часть энергии шайбы преобразуется в теплоту при контакте с горкой, и возможна потеря энергии на трение.

д) Уравнение для суммарной механической энергии можно записать следующим образом:
(1/2) * m * v0^2 + m * g * H = (1/2) * (M + m) * V^2 + (M + m) * g * H'
где H' — высота после движения (в данном случае можно считать, что H' = 0).

Система уравнений:  
1. m * v0 = (M + m) * V  
2. (1/2) * m * v0^2 + m * g * H = (1/2) * (M + m) * V^2

Подставим значения:  
g ≈ 9.81 м/с^2

Для решения системы выразим v0 через V из первого уравнения:
v0 = ((M + m) / m) * V

Теперь подставим это значение во второе уравнение:
(1/2) * m * (((M + m) / m) * V)^2 + m * g * H = (1/2) * (M + m) * V^2

Упрощая, получим:
(1/2) * m * ((M + m)^2 / m^2) * V^2 + m * g * H = (1/2) * (M + m) * V^2

Умножим на 2 и упростим:
m * (M + m)^2 / m^2 * V^2 + 2 * m * g * H = (M + m) * V^2

Переносим все члены с V в одну сторону:
(m * (M + m)^2 / m^2 - (M + m)) * V^2 + 2 * m * g * H = 0

Решаем это уравнение для V.  
Запишем равенство:
V^2 * (m * (M + m) / m^2 - (M + m)) = -2 * m * g * H

Таким образом:
V^2 = (2 * m * g * H) / (M + m - (M + m) * m / m^2)
V^2 = (2 * m * g * H) / (M + m) * (1 - m/m)

Так как m и M известны, можем подставить:
V^2 = (2 * 0.02 * 9.81 * 0.2) / (0.2 + 0.02)

Теперь подставим числовые значения:
V^2 = (0.003924) / (0.22)  
V^2 ≈ 0.01786  
V ≈ √0.01786  
V ≈ 0.1337 м/с  

Теперь найдем начальную скорость шайбы v0:
v0 = ((M + m) / m) * V
v0 = ((0.2 + 0.02) / 0.02) * 0.1337
v0 = (0.22 / 0.02) * 0.1337
v0 = 11 * 0.1337
v0 ≈ 1.47 м/с

Ответ:  
Конечная скорость V ≈ 0.134 м/с  
Начальная скорость шайбы v0 ≈ 1.47 м/с