дано:
l — длина лестницы,
μ — коэффициент трения между лестницей и полом,
α — угол наклона лестницы к стене.
найти:
а) Условия, при которых рабочий может безопасно подняться до самого верха лестницы.
б) Максимальную высоту h от пола, на которую рабочий может подняться, если условия не выполняются.
решение:
а) Рассмотрим силы, действующие на лестницу:
1. Сила тяжести рабочего W = m * g направлена вниз.
2. Нормальная сила N со стороны пола действует перпендикулярно к поверхности.
3. Сила трения F_tr = μ * N направлена вдоль пола и препятствует сдвигу лестницы.
Условия равновесия:
- В вертикальном направлении:
N - W = 0,
откуда N = W = m * g.
- В горизонтальном направлении:
F_tr = m * g * sin(α).
Подставляем силу трения:
μ * N = m * g * sin(α),
μ * (m * g) = m * g * sin(α).
Сокращаем m * g (при условии, что m ≠ 0):
μ = sin(α).
Таким образом, для безопасного подъема рабочего до самого верха лестницы должно выполняться следующее условие:
μ ≥ sin(α).
б) Если условие μ < sin(α), лестница начнет скользить. Чтобы выяснить, до какой высоты h рабочий может подняться, учтем, что момент сил относительно точки соприкосновения лестницы с полом должен быть равен нулю.
1. Момент от силы тяжести рабочего:
M_worker = W * (l * cos(α)) = m * g * (l * cos(α)).
2. Момент от силы трения:
M_friction = F_tr * l * sin(α) = μ * N * (l * sin(α)) = μ * (m * g) * (l * sin(α)).
Для равновесия:
m * g * (l * cos(α)) = μ * (m * g) * (l * sin(α)).
Сокращаем m * g и l (при условии, что m, g и l ≠ 0):
cos(α) = μ * sin(α).
Вводим высоту h:
h = l * sin(α).
Подставляем выражение для μ:
h = (cos(α) / μ) * sin(α).
Следовательно, максимальная высота, на которую рабочий может подняться, когда не выполняется предыдущее условие:
h = l * (cos(α) / μ) * sin(α).
ответ:
а) Рабочий может безопасно подняться до самого верха лестницы, если μ ≥ sin(α).
б) Максимальная высота h, до которой рабочий может подняться, если условие не выполнено, равна l * (cos(α) / μ) * sin(α).