Дано:
- Сила взаимодействия между зарядами увеличилась в 2 раза, когда расстояние между ними уменьшилось на 0,5 м.
- Константа электрической постоянной k = 8,99 × 10^9 Н·м²/Кл².
Найти: первоначальное расстояние между зарядами.
Решение:
Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами вычисляется по закону Кулона:
F = k * |q1 * q2| / r²,
где F — сила взаимодействия, q1 и q2 — величины зарядов, r — расстояние между зарядами.
Предположим, что первоначальное расстояние между зарядами равно r. Когда расстояние уменьшается на 0,5 м, новое расстояние будет r - 0,5 м. Сила взаимодействия увеличивается в 2 раза, то есть новая сила будет F' = 2F.
Закон Кулона для новой силы:
F' = k * |q1 * q2| / (r - 0,5)².
Теперь, по условию задачи, F' = 2F, подставим это в уравнение:
2F = k * |q1 * q2| / (r - 0,5)².
Так как F = k * |q1 * q2| / r², подставляем это выражение для F в уравнение:
2 * (k * |q1 * q2| / r²) = k * |q1 * q2| / (r - 0,5)².
Сокращаем k * |q1 * q2| с обеих сторон:
2 / r² = 1 / (r - 0,5)².
Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на r² * (r - 0,5)²:
2 * (r - 0,5)² = r².
Раскроем скобки:
2 * (r² - r + 0,25) = r².
Упростим:
2r² - 2r + 0,5 = r².
Переносим все в одну сторону:
r² - 2r + 0,5 = 0.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант D:
D = (-2)² - 4 * 1 * 0,5 = 4 - 2 = 2.
Корни уравнения:
r = (2 ± √2) / 2.
r = (2 + √2) / 2 ≈ 1,707 м (положительное решение).
Ответ: первоначальное расстояние между зарядами было примерно 1,707 м.