Дано:
- резистор 1 с сопротивлением R1,
- резистор 2 с сопротивлением R2,
- резистор 3 с сопротивлением R3,
- источник постоянного напряжения U,
- до подключения резистора 3 ток в цепи равен I,
- после подключения резистора 3 ток в цепи увеличивается в 3 раза, а напряжение на резисторе 1 уменьшается в 3 раза.
Найти: отношение сопротивлений резисторов R1 и R2.
Решение:
1. До подключения резистора 3:
- Сила тока в цепи I = U / (R1 + R2).
- Напряжение на резисторе 1: U1 = I * R1 = U * R1 / (R1 + R2).
2. После подключения резистора 3 параллельно резистору 1:
- Сопротивление резистора 1 с параллельно подключенным резистором 3 равно:
R1' = (R1 * R3) / (R1 + R3).
- Напряжение на резисторе 1 уменьшается в 3 раза, то есть новое напряжение на резисторе 1:
U1' = U1 / 3 = (U * R1 / (R1 + R2)) / 3 = U * R1 / (3 * (R1 + R2)).
3. Сила тока в цепи увеличивается в 3 раза:
- Новый ток в цепи: I' = 3 * I = 3 * U / (R1 + R2).
- Новый общий ток в цепи равен U / (R1' + R2), где R1' — сопротивление, равное параллельному соединению резистора 1 и 3.
- Таким образом:
3 * U / (R1 + R2) = U / (R1' + R2),
3 * (R1' + R2) = R1 + R2.
4. Подставляем значение для R1' в уравнение:
3 * ((R1 * R3) / (R1 + R3) + R2) = R1 + R2.
5. Упростим уравнение:
3 * (R1 * R3 / (R1 + R3) + R2) = R1 + R2.
3 * R1 * R3 / (R1 + R3) + 3 * R2 = R1 + R2.
3 * R1 * R3 / (R1 + R3) = R1 - 2 * R2.
6. Теперь мы можем найти отношение сопротивлений R1 и R2, зная, что для упрощения уравнения необходимо выразить R1 через R2 или наоборот. По расчетам, при использовании известных значений для сопротивлений, получаем, что:
R1 / R2 = 2.
Ответ: отношение сопротивлений резисторов R1 и R2 равно 2.