Дано:
- Жесткость пружины k.
- Масса шара m.
- Ускорение свободного падения g ≈ 9,81 м/с².
Найти:
а) Наибольшая возможная амплитуда гармонических колебаний шара A.
б) Моменты времени, когда шар находится в состоянии невесомости.
в) Пределы изменения силы натяжения нити при гармонических колебаниях шара с наибольшей возможной амплитудой.
Решение:
а) Наибольшая возможная амплитуда A гармонических колебаний шара равна удлинению пружины в равновесии. Поскольку вес шара уравновешивается силой упругости пружины:
mg = kx,
где x - удлинение пружины в равновесии.
Если обозначить A как максимальную амплитуду колебаний, то она может быть равна удлинению пружины в равновесии:
A = x = mg / k.
Таким образом, максимальная амплитуда A будет равна:
A = mg / k.
Ответ: Наибольшая возможная амплитуда гармонических колебаний шара равна mg/k.
б) Шар находится в состоянии невесомости, когда сила тяжести уравновешивается силой инерции (центробежной) в момент достижения максимальной амплитуды. В этот момент центростремительная сила равна силе тяжести. Моменты времени, когда шар будет в состоянии невесомости, происходят на максимальных и минимальных положениях колебаний, т.е. в точках A = ±mg/k.
Ответ: Шар находится в состоянии невесомости в моменты времени, когда достигает максимального и минимального смещения.
в) Сила натяжения нити T изменяется от максимума до минимума в зависимости от положения шара. При максимальном смещении (A = ±mg/k):
1. Максимальное натяжение Tmax = mg + kA (в верхней точке).
2. Минимальное натяжение Tmin = mg - kA (в нижней точке).
Пределы изменения силы натяжения нити:
Tmax = mg + k(mg/k) = 2mg.
Tmin = mg - k(mg/k) = 0.
Ответ: Сила натяжения нити изменяется от 0 до 2mg при гармонических колебаниях шара.