Дано:
- Амплитуда колебаний xmax.
Найти:
Смещение x, при котором кинетическая энергия груза равна потенциальной энергии пружины.
Решение:
1. Обозначим формулы для кинетической (K) и потенциальной (U) энергий.
Кинетическая энергия груза:
K = (1/2) * m * v^2,
где v = dx/dt = -xmax * ω * sin(ωt).
Потенциальная энергия пружины:
U = (1/2) * k * x^2,
где k — жесткость пружины.
2. Условия равенства кинетической и потенциальной энергий:
K = U
(1/2) * m * v^2 = (1/2) * k * x^2.
3. Подставим выражения для K и U:
(1/2) * m * (-xmax * ω * sin(ωt))^2 = (1/2) * k * (xmax * cos(ωt))^2.
4. Сократим на (1/2):
m * (xmax^2 * ω^2 * sin^2(ωt)) = k * (xmax^2 * cos^2(ωt)).
5. Теперь выразим k через массу и период: k = m * (2π/T)^2.
Подставляем:
m * (xmax^2 * ω^2 * sin^2(ωt)) = m * (2π/T)^2 * (xmax^2 * cos^2(ωt)).
6. Сократим на m и xmax^2:
ω^2 * sin^2(ωt) = (2π/T)^2 * cos^2(ωt).
7. Подставляя выражение для ω:
(2π / T)^2 * sin^2(ωt) = (2π/T)^2 * cos^2(ωt).
8. Упростим уравнение:
sin^2(ωt) = cos^2(ωt).
9. Используя тригонометрическое тождество:
tan^2(ωt) = 1, следовательно, tan(ωt) = ±1.
10. Решение уравнения:
ωt = π/4 + n(π/2), где n = 0, 1, 2,... (это не нужно, так как мы ищем смещение).
11. Теперь у нас есть соотношение:
sin^2(θ) = cos^2(θ)
=> sin^2(θ) = 1/2
=> cos^2(θ) = 1/2.
12. Следовательно, x = ±xmax * sqrt(1/2) = ±(xmax / sqrt(2)) = ±(xmax * 0.707).
Ответ: Смещение, при котором кинетическая энергия равна потенциальной, составляет ±(xmax / sqrt(2)).