Дано:
- Индуктивность катушки L = 80 мГн = 80 * 10^(-3) Гн
- Электроёмкость конденсатора C = 2 мкФ = 2 * 10^(-6) Ф
Найти: минимальный промежуток времени t, при котором энергия электрического поля в конденсаторе равна энергии магнитного поля в катушке.
Решение:
1. Определим формулы для энергий электрического и магнитного полей:
- Энергия электрического поля в конденсаторе (U_c):
U_c = (1/2) * C * V^2,
где V — напряжение на конденсаторе.
- Энергия магнитного поля в катушке (U_L):
U_L = (1/2) * L * I^2,
где I — сила тока в катушке.
2. Находим напряжение V и силу тока I в зависимости от времени. В колебательном контуре происходит гармоническое изменение этих величин:
Напряжение будет описываться функцией:
V(t) = V_0 * cos(ωt),
где ω = 1/sqrt(LC) — круговая частота;
V_0 — начальное напряжение на конденсаторе.
Сила тока будет описываться функцией:
I(t) = I_0 * sin(ωt),
где I_0 — максимальная сила тока.
3. Рассчитаем круговую частоту ω:
ω = 1 / sqrt(L * C)
= 1 / sqrt(80 * 10^(-3) * 2 * 10^(-6))
= 1 / sqrt(160 * 10^(-9))
= 1 / (40 * 10^(-5))
= 25 000 рад/с.
4. Применяя полученные формулы для энергий, приравняем их:
(1/2) * C * (V_0 * cos(ωt))^2 = (1/2) * L * (I_0 * sin(ωt))^2.
Упрощаем уравнение:
C * V_0^2 * cos^2(ωt) = L * I_0^2 * sin^2(ωt).
5. Обратите внимание, что U_c и U_L будут равны на первом нуле функции косинуса и синуса. Это происходит в момент, когда:
cos^2(ωt) = 1/2 и sin^2(ωt) = 1/2, что соответствует углу π/4.
Таким образом,
ωt = π/4 => t = π/(4ω).
6. Подставим значение ω:
t = π / (4 * 25000)
≈ 3.14 / 100000
≈ 0.0000314 с или 31.4 мкс.
Ответ: минимальный промежуток времени t ≈ 31.4 мкс.