дано:
- Импульс в специальной теории относительности (p) = mv / √(1 - v²/c²), где m — масса тела, v — скорость тела, c — скорость света.
- Для малых скоростей v << c.
найти:
Показать, что формула для импульса в релятивистской механике практически совпадает с классической формулой p = mv.
решение:
1. Начнем с релятивистской формулы для импульса:
p = mv / √(1 - v²/c²).
2. Рассмотрим случай, когда скорость v является очень маленькой по сравнению со скоростью света (v << c). В этом случае произведение v²/c² будет намного меньше 1, и мы можем использовать приближение для √(1 - x):
√(1 - x) ≈ 1 - x/2 при малых x.
3. Подставим v²/c² вместо x в наше выражение:
√(1 - v²/c²) ≈ 1 - (v²/c²)/2.
4. Теперь подставим это приближение в формулу для импульса:
p ≈ mv / (1 - (v²/c²)/2)
≈ mv * (1 + (v²/c²)/2) для малых v (используем разложение в ряд Тейлора).
5. Мы видим, что при малых значениях v:
p ≈ mv * (1 + 0) = mv.
Таким образом, при малых скоростях (v << c) релятивистская формула для импульса сводится к классической формуле для импульса.
ответ:
Для тела, движущегося со скоростью, очень малой по сравнению со скоростью света, релятивистская формула для импульса практически совпадает с классической формулой p = mv.