дано:
- масса груза m = 2 кг
- угол с вертикалью θ = 30°
- частота колебаний f = 0,5 Гц
найти:
- потенциальную энергию Ep математического маятника в момент времени, когда нить составляет угол 30° с вертикалью
решение:
1. Потенциальная энергия вычисляется по формуле:
Ep = m * g * h,
где g — ускорение свободного падения (g ≈ 9,81 м/с²), h — высота подъема груза.
2. Найдем высоту h, на которую поднимается груз при угле θ. Для этого используем длину нити L и тригонометрию:
h = L - L * cos(θ) = L * (1 - cos(θ)).
3. Чтобы выразить cos(30°):
cos(30°) = √3 / 2 ≈ 0,866.
4. Таким образом, h можно записать как:
h = L * (1 - 0,866) = L * 0,134.
5. Теперь необходимо найти длину нити L. Частота колебаний T связана с длиной маятника следующей формулой:
f = 1 / T = (1 / 2π) * √(g / L).
6. Поскольку f = 0,5 Гц, можем найти T:
T = 1 / f = 1 / 0,5 = 2 с.
7. Подставим T в формулу для частоты:
0,5 = (1 / 2π) * √(9,81 / L).
8. Упрощаем уравнение:
2π * 0,5 = √(9,81 / L),
π = √(9,81 / L).
9. Возводим обе стороны в квадрат:
π² = 9,81 / L,
L = 9,81 / π².
10. Вычисляем L:
π ≈ 3,14, тогда π² ≈ 9,87.
L ≈ 9,81 / 9,87 ≈ 0,993 м.
11. Находим h:
h = L * 0,134 ≈ 0,993 * 0,134 ≈ 0,133 м.
12. Затем подставим h в формулу для потенциальной энергии:
Ep = 2 * 9,81 * 0,133 ≈ 2.617 Дж.
ответ:
Потенциальная энергия математического маятника, когда нить составляет угол 30° с вертикалью, составляет примерно 2.617 Дж.