дано:
- Период полураспада радия-226: T = 1620 лет.
- Количество ядер, которые нужно распасть: N_0 = 10^18 ядер.
- Молярная масса радия-226: M = 226 г/моль.
- Авогадро: N_A = 6,022 * 10^23 атомов/моль.
найти:
- Время, за которое распадется 10^18 ядер радия-226.
решение:
1. Сначала найдем количество моль радия в 226 г:
n = M / M_rad = 226 г / 226 г/моль = 1 моль.
2. Теперь найдем общее количество ядер в 1 моле радия:
N_total = n * N_A = 1 * 6,022 * 10^23 = 6,022 * 10^23 ядер.
3. Найдем коэффициент распада λ (лямбда) по формуле:
λ = ln(2) / T,
где ln(2) ≈ 0,693. Преобразуем период полураспада из лет в секунды:
T = 1620 лет * 365,25 дней/год * 24 часа/день * 3600 секунд/час ≈ 5,113 * 10^10 секунд.
4. Подставим значение T в формулу для λ:
λ = 0,693 / (5,113 * 10^10) ≈ 1,356 * 10^-11 с^-1.
5. Используем закон радиоактивного распада:
N(t) = N_0 * e^(-λt),
где N(t) - оставшееся количество ядер после времени t.
6. Для нахождения времени t, когда распадется 10^18 ядер, используем следующее уравнение:
N_total - N(t) = 10^18.
Следовательно,
N(t) = N_total - 10^18 = 6,022 * 10^23 - 10^18 ≈ 6,022 * 10^23 (поскольку 10^18 значительно меньше).
7. Теперь подставим значения в уравнение:
6,022 * 10^23 = 10^18 * e^(-λt).
8. Упростим уравнение:
e^(-λt) = (6,022 * 10^23) / (10^18) = 6,022 * 10^5.
9. Найдем натуральный логарифм обеих сторон:
-λt = ln(6,022 * 10^5).
10. Теперь подставим значение λ:
t = -ln(6,022 * 10^5) / (1,356 * 10^-11).
11. Вычислим:
ln(6,022 * 10^5) ≈ 14,1.
t ≈ -14,1 / (-1,356 * 10^-11) ≈ 1,04 * 10^12 секунд.
12. Переведем время в годы:
t ≈ (1,04 * 10^12 секунд) / (60 * 60 * 24 * 365,25) ≈ 32,93 миллиона лет.
ответ:
Время, за которое распадется 10^18 ядер радия-226, составляет примерно 32,93 миллиона лет.