Период полураспада радия-226 составляет 1620 лет. За какое время распадется 1018 ядер в 226 г радия?
от

1 Ответ

дано:
- Период полураспада радия-226: T = 1620 лет.
- Количество ядер, которые нужно распасть: N_0 = 10^18 ядер.
- Молярная масса радия-226: M = 226 г/моль.
- Авогадро: N_A = 6,022 * 10^23 атомов/моль.

найти:
- Время, за которое распадется 10^18 ядер радия-226.

решение:

1. Сначала найдем количество моль радия в 226 г:

   n = M / M_rad = 226 г / 226 г/моль = 1 моль.

2. Теперь найдем общее количество ядер в 1 моле радия:

   N_total = n * N_A = 1 * 6,022 * 10^23 = 6,022 * 10^23 ядер.

3. Найдем коэффициент распада λ (лямбда) по формуле:

   λ = ln(2) / T,

где ln(2) ≈ 0,693. Преобразуем период полураспада из лет в секунды:

   T = 1620 лет * 365,25 дней/год * 24 часа/день * 3600 секунд/час ≈ 5,113 * 10^10 секунд.

4. Подставим значение T в формулу для λ:

   λ = 0,693 / (5,113 * 10^10) ≈ 1,356 * 10^-11 с^-1.

5. Используем закон радиоактивного распада:

   N(t) = N_0 * e^(-λt),

где N(t) - оставшееся количество ядер после времени t.

6. Для нахождения времени t, когда распадется 10^18 ядер, используем следующее уравнение:

   N_total - N(t) = 10^18.

   Следовательно,

   N(t) = N_total - 10^18 = 6,022 * 10^23 - 10^18 ≈ 6,022 * 10^23 (поскольку 10^18 значительно меньше).

7. Теперь подставим значения в уравнение:

   6,022 * 10^23 = 10^18 * e^(-λt).

8. Упростим уравнение:

   e^(-λt) = (6,022 * 10^23) / (10^18) = 6,022 * 10^5.

9. Найдем натуральный логарифм обеих сторон:

   -λt = ln(6,022 * 10^5).

10. Теперь подставим значение λ:

    t = -ln(6,022 * 10^5) / (1,356 * 10^-11).

11. Вычислим:

    ln(6,022 * 10^5) ≈ 14,1.

    t ≈ -14,1 / (-1,356 * 10^-11) ≈ 1,04 * 10^12 секунд.

12. Переведем время в годы:

    t ≈ (1,04 * 10^12 секунд) / (60 * 60 * 24 * 365,25) ≈ 32,93 миллиона лет.

ответ:
Время, за которое распадется 10^18 ядер радия-226, составляет примерно 32,93 миллиона лет.
от