дано:
- максимальная сила тока I_max = 5 мА = 5 * 10^(-3) А
- наибольший заряд конденсатора Q_max = 2,5 нКл = 2,5 * 10^(-9) Кл
- заряд конденсатора в данный момент времени Q = 1,5 нКл = 1,5 * 10^(-9) Кл
найти: силу тока I в этот момент времени
решение:
1. В идеальном колебательном контуре сила тока связана с зарядом следующим образом:
I = -dQ/dt.
2. Известно, что заряд в контуре периодически изменяется по гармоническому закону. В любой момент времени можно выразить заряд как:
Q(t) = Q_max * sin(ωt),
где ω — циклическая частота колебаний.
3. При этом заряд и сила тока находятся в соотношении:
I(t) = I_max * cos(ωt).
4. Используя соотношение между максимальным зарядом и максимальной силой тока, можем определить, что:
I_max/Q_max = ω.
5. Таким образом, выражаем ω:
ω = I_max / Q_max = (5 * 10^(-3)) / (2,5 * 10^(-9)) = 2 * 10^6 рад/с.
6. Теперь нужно найти значение t, в который мы имеем заряд Q = 1,5 нКл.
Из уравнения для заряда:
1,5 * 10^(-9) = (2,5 * 10^(-9)) * sin(ωt).
7. Находим синус:
sin(ωt) = (1,5 * 10^(-9)) / (2,5 * 10^(-9)) = 0,6.
8. Теперь находим угол:
ωt = arcsin(0,6).
9. Подставим значение ω:
t = arcsin(0,6) / ω.
10. Однако нам здесь не требуется знать точное значение t. Мы можем сразу находить силу тока I, используя найденный синус:
I = I_max * cos(ωt).
Используем тригонометрическую идентичность:
cos²(ωt) + sin²(ωt) = 1.
Следовательно,
cos(ωt) = √(1 - sin²(ωt)) = √(1 - 0,6²) = √(1 - 0,36) = √(0,64) = 0,8.
11. Теперь подставляем:
I = I_max * cos(ωt) = (5 * 10^(-3)) * 0,8 = 4 * 10^(-3) A = 4 мА.
ответ: сила тока в этот момент времени составляет 4 мА.