дано:
- заряд конденсатора Q = 4 нКл = 4 * 10^(-9) Кл
- сила тока I = 3 мА = 3 * 10^(-3) А
- период колебаний T = 6,3 мкс = 6,3 * 10^(-6) с
найти: амплитуду колебаний заряда Q_max
решение:
1. В идеальном колебательном контуре заряд и сила тока связаны следующим образом:
I(t) = I_max * cos(ωt),
где I_max – максимальная сила тока, ω – циклическая частота.
2. Циклическая частота ω может быть найдена через период:
ω = 2π / T.
Подставим значение T:
ω = 2π / (6,3 * 10^(-6)) ≈ 999,68 * 10^3 рад/с.
3. Сила тока в момент времени t также выражается через заряд:
I(t) = -dQ/dt.
4. Мы знаем, что:
Q(t) = Q_max * sin(ωt).
5. Найдем производную dQ/dt:
dQ/dt = Q_max * ω * cos(ωt).
6. У нас есть два уравнения для силы тока:
I = -Q_max * ω * cos(ωt).
7. Теперь выразим cos(ωt):
cos(ωt) = -I / (Q_max * ω).
8. Также мы можем использовать соотношение для заряда:
Q = Q_max * sin(ωt).
9. Заметим, что:
sin²(ωt) + cos²(ωt) = 1.
10. Подставим в это уравнение:
(Q/Q_max)² + (I/(Q_max * ω))² = 1.
11. Подставим известные значения:
(4 * 10^(-9) / Q_max)² + (3 * 10^(-3) / (Q_max * 999680))² = 1.
12. Обозначим Q_max = A:
(4 * 10^(-9) / A)² + (3 * 10^(-3) / (A * 999680))² = 1.
13. Упростим уравнение:
(16 * 10^(-18) / A²) + (9 * 10^(-6) / (A² * (999680)²)) = 1.
14. Переносим все к одному общему знаменателю:
(16 * 10^(-18) * (999680)² + 9 * 10^(-6)) = A².
15. Найдем (999680)²:
(999680)² ≈ 999360000000.
16. Подставим значение:
A² = 16 * 10^(-18) * 999360000000 + 9 * 10^(-6).
17. Вычислим:
A² ≈ 15,98976 * 10^(-6) + 9 * 10^(-6) = 24,98976 * 10^(-6).
18. Находим A:
A = √(24,98976 * 10^(-6)) ≈ 4,99 * 10^(-3) Кл = 4,99 нКл.
ответ: амплитуда колебаний заряда составляет приблизительно 4,99 нКл.