дано:
- линейная плотность заряда стержня t = 10 мкКл/м = 10 * 10^(-6) Кл/м
- расстояние от конца стержня до точечного заряда a = 20 см = 0.2 м
- точечный заряд Q = 100 нКл = 100 * 10^(-9) Кл
найти:
1. Силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.
решение:
1. Сила взаимодействия между заряженным стержнем и точечным зарядом определяется интегралом, так как стержень состоит из множества infinitesimal зарядов dq.
Сначала найдем выражение для dq:
dq = t * dx,
где dx - элементарный участок стержня.
2. На расстоянии r от элемента стержня, расположенного на расстоянии x от его начала, будет:
r = sqrt(x^2 + a^2).
3. Элементарное электрическое поле dE, создаваемое зарядом dq, можно выразить через закон Кулона:
dE = k * dq / r^2,
где k = 8.99 * 10^9 Н·м²/Кл² — электрическая постоянная.
4. Теперь подставим dq:
dE = k * (t * dx) / (x^2 + a^2).
5. Чтобы найти силу F, нужно учесть только компоненту электрического поля, направленную к точечному заряду. Это будет dE параллельно оси x:
dF = dE * Q = (k * (t * dx) / (x^2 + a^2)) * Q.
6. Интегрируем dF от 0 до бесконечности (поскольку стержень длинный):
F = ∫(от 0 до ∞) (k * (t * Q) / (x^2 + a^2)) dx.
7. Вычислим интеграл:
F = k * t * Q * ∫(от 0 до ∞) (1 / (x^2 + a^2)) dx.
8. Интеграл ∫(от 0 до ∞) (1 / (x^2 + a^2)) dx = (π/(2a)).
9. Подставляем значение интеграла:
F = k * t * Q * (π / (2a)).
10. Подставляем известные значения:
k = 8.99 * 10^9 Н·м²/Кл²,
t = 10 * 10^(-6) Кл/м,
Q = 100 * 10^(-9) Кл,
a = 0.2 м.
11. Теперь подставим в формулу:
F = (8.99 * 10^9) * (10 * 10^(-6)) * (100 * 10^(-9)) * (π / (2 * 0.2)).
12. Вычислим:
F ≈ (8.99 * 10^9) * (10 * 10^(-6)) * (100 * 10^(-9)) * (15.70796).
13. F ≈ 8.99 * 10^9 * 10 * 10^(-6) * 100 * 10^(-9) * 15.70796 ≈ 0.141 Н.
ответ:
0.141