Дано:
- Для производства 1 т шоколада требуется 1 т сахара и 3 т какао-бобов.
- Для производства 1 т конфет требуется 1 т сахара и 1 т какао-бобов.
- Суточные запасы:
- сахара: 5 т,
- какао-бобов: 10 т.
- Прибыль от реализации 1 т шоколада составляет 5 млн р, от реализации 1 т конфет — 3 млн р.
Найти: оптимальное суточное производство конфет и шоколада, максимизирующее прибыль.
Решение:
Обозначим через:
- x — количество производимых тонн шоколада,
- y — количество производимых тонн конфет.
Условия задачи:
1. Для производства x тонн шоколада требуется x тонн сахара и 3x тонн какао-бобов.
2. Для производства y тонн конфет требуется y тонн сахара и y тонн какао-бобов.
3. Суточные запасы сахара и какао-бобов ограничены:
- x + y ≤ 5 (ограничение по сахару),
- 3x + y ≤ 10 (ограничение по какао-бобам).
4. Прибыль от реализации продукции:
- прибыль от шоколада: 5x млн р,
- прибыль от конфет: 3y млн р.
Функция прибыли:
P = 5x + 3y.
Задача сводится к задаче линейного программирования:
Максимизировать P = 5x + 3y
при условиях:
x + y ≤ 5,
3x + y ≤ 10,
x ≥ 0,
y ≥ 0.
Теперь решим задачу.
1. Построим график системы ограничений:
- x + y = 5 — прямая с угловым коэффициентом -1 и сдвигом 5.
- 3x + y = 10 — прямая с угловым коэффициентом -3 и сдвигом 10.
2. Находим точки пересечения ограничений:
- Пересечение x + y = 5 и 3x + y = 10.
Из уравнения x + y = 5 выражаем y = 5 - x.
Подставляем это в уравнение 3x + y = 10:
3x + (5 - x) = 10,
3x + 5 - x = 10,
2x = 5,
x = 2,5.
Подставляем x = 2,5 в y = 5 - x:
y = 5 - 2,5 = 2,5.
Точка пересечения: (2,5, 2,5).
3. Теперь проверим возможные значения функции прибыли в вершинах области допустимых решений:
- В точке (0, 5): P = 5(0) + 3(5) = 15.
- В точке (2,5, 2,5): P = 5(2,5) + 3(2,5) = 12,5 + 7,5 = 20.
- В точке (5, 0): P = 5(5) + 3(0) = 25.
Наибольшая прибыль достигается в точке (2,5, 2,5), и она составляет 20 млн р.
Ответ:
Для максимизации прибыли фабрика должна выпустить 2,5 т конфет и 2,5 т шоколада. Прибыль составит 20 млн р.