Дано:
- Суточный запас сырья = 120 кг.
- Расход сырья на единицу продукции P1 = 12 кг.
- Расход сырья на единицу продукции P2 = 42 кг.
- Цена продукции P1 = 168 ден. ед.
- Цена продукции P2 = 284 ден. ед.
Необходимо найти оптимальное распределение сырья для максимизации прибыли от продажи продукции P1 и P2.
Пусть:
- х1 — количество изделий P1, которые будут изготовлены в течение суток.
- х2 — количество изделий P2, которые будут изготовлены в течение суток.
- F — максимальная прибыль.
Задача сводится к следующей системе ограничений и цели:
1. Ограничение на количество сырья:
12 * х1 + 42 * х2 ≤ 120 (так как всего имеется 120 кг сырья).
2. Ограничения на количество продукции:
х1 ≥ 0 (количество изделий P1 не может быть отрицательным).
х2 ≥ 0 (количество изделий P2 не может быть отрицательным).
Целевая функция (прибыль):
F = 168 * х1 + 284 * х2.
Теперь решим задачу методом подбора возможных значений х1 и х2, чтобы максимизировать прибыль.
Рассмотрим первое ограничение: 12 * х1 + 42 * х2 ≤ 120.
Для х2 = 0 (если не производим P2):
12 * х1 ≤ 120 → х1 ≤ 120 / 12 = 10.
Тогда х1 = 10, х2 = 0.
Для х2 = 1:
12 * х1 + 42 * 1 ≤ 120 → 12 * х1 ≤ 120 - 42 = 78 → х1 ≤ 78 / 12 = 6.5 → х1 ≤ 6 (производим не более 6 изделий P1).
При х1 = 6, х2 = 1, проверяем:
12 * 6 + 42 * 1 = 72 + 42 = 114 (это меньше 120, следовательно, возможно).
Для х2 = 2:
12 * х1 + 42 * 2 ≤ 120 → 12 * х1 ≤ 120 - 84 = 36 → х1 ≤ 36 / 12 = 3.
При х1 = 3, х2 = 2, проверяем:
12 * 3 + 42 * 2 = 36 + 84 = 120 (это равно 120, следовательно, возможно).
Для х2 = 3:
12 * х1 + 42 * 3 ≤ 120 → 12 * х1 ≤ 120 - 126 = -6 (невозможно, так как не может быть отрицательного количества сырья).
Теперь вычислим прибыль для каждого из этих вариантов:
1. При х1 = 10, х2 = 0:
F = 168 * 10 + 284 * 0 = 1680 ден. ед.
2. При х1 = 6, х2 = 1:
F = 168 * 6 + 284 * 1 = 1008 + 284 = 1292 ден. ед.
3. При х1 = 3, х2 = 2:
F = 168 * 3 + 284 * 2 = 504 + 568 = 1072 ден. ед.
Таким образом, наибольшую прибыль даёт вариант, при котором х1 = 10 и х2 = 0.
Ответ:
х1 = 10, х2 = 0, F = 1680 ден. ед.