Question

При   производстве   продукции   P1   и   P2   используют   4   группы   оборудования A, B, C  и  D.  На  выпуск  единицы  продукции  P1  в  единицу  времени  расходуется  1;  0,5;  2  и  0  единиц  оборудования  A, B, C  и  Dсоответственно,  а  единицы  продукции  P2  —  1;  1;  0  и  2  единиц  оборудования A, B, C  и  D.  Фонд  рабочего  времени  группы  A  составляет  18, B  —  12,  C  —  24  и  D  —  18  единиц  времени.  Предприятие  реализует  единицу  продукции  P1  по  цене  40  ден.  ед.,  P2  —  60  ден.  ед.  Определите   план   выпуска   продукции,   при   котором   выручка   пред-приятия  будет  максимальной,  и  рассчитайте  максимальный  размер  выручки.

Answer 1

Дано:
- Продукция P1 и P2 используют 4 группы оборудования A, B, C и D.
- Для производства 1 единицы продукции P1 в 1 единицу времени расходуется:
  - 1 единица оборудования A,
  - 0,5 единицы оборудования B,
  - 2 единицы оборудования C,
  - 0 единиц оборудования D.
  
- Для производства 1 единицы продукции P2 в 1 единицу времени расходуется:
  - 1 единица оборудования A,
  - 1 единица оборудования B,
  - 0 единиц оборудования C,
  - 2 единицы оборудования D.
  
- Фонд рабочего времени для групп оборудования:
  - A: 18 единиц,
  - B: 12 единиц,
  - C: 24 единицы,
  - D: 18 единиц.

- Цена реализации продукции:
  - P1: 40 ден. ед.,
  - P2: 60 ден. ед.

Найти: План выпуска продукции, при котором выручка будет максимальной, и рассчитать максимальную выручку.

Решение:

Обозначим количество единиц продукции P1 как x1, а количество единиц продукции P2 как x2.

Необходимые ограничения:
1. Для оборудования A:
   x1 + x2 ≤ 18 (Фонд рабочего времени для A)
   
2. Для оборудования B:
   0,5x1 + x2 ≤ 12 (Фонд рабочего времени для B)

3. Для оборудования C:
   2x1 ≤ 24 (Фонд рабочего времени для C)

4. Для оборудования D:
   2x2 ≤ 18 (Фонд рабочего времени для D)

Целевая функция (выручка):
R = 40x1 + 60x2

Теперь решим задачу линейного программирования.

1. Сначала решим систему ограничений:
   - x1 + x2 ≤ 18
   - 0,5x1 + x2 ≤ 12
   - 2x1 ≤ 24
   - 2x2 ≤ 18

   Из последнего неравенства получаем x2 ≤ 9.

   Из третьего неравенства получаем x1 ≤ 12.

2. Подставим эти значения в остальные ограничения:
   - x1 + x2 ≤ 18
   - 0,5x1 + x2 ≤ 12

3. Рассмотрим возможные значения x1 и x2:
   - Если x1 = 12, то из первого ограничения x2 ≤ 6 (x1 + x2 ≤ 18).
   - Если x1 = 12, из второго ограничения получаем x2 ≤ 12 - 0,5(12) = 6.

Таким образом, максимальные значения для x1 и x2: x1 = 12 и x2 = 6.

Проверим, выполняются ли все условия:
- x1 + x2 = 12 + 6 = 18 ≤ 18 (ограничение по A).
- 0,5x1 + x2 = 0,5(12) + 6 = 6 + 6 = 12 ≤ 12 (ограничение по B).
- 2x1 = 2(12) = 24 ≤ 24 (ограничение по C).
- 2x2 = 2(6) = 12 ≤ 18 (ограничение по D).

Все ограничения выполнены.

Максимальная выручка:
R = 40(12) + 60(6) = 480 + 360 = 840 ден. ед.

Ответ:
План выпуска продукции:
- 12 единиц продукции P1,
- 6 единиц продукции P2.
Максимальная выручка равна 840 ден. ед.