Дано:
- Цена обеда 120 р. -> 70 посетителей.
- Цена обеда 100 р. -> 80 посетителей.
- Фиксированные издержки: 900 р. в день.
- Переменные издержки: 40 р. за обед.
Необходимо найти функцию прибыли и максимальное значение прибыли.
Решение:
1. Зависимость числа посетителей от цены обеда:
Пусть количество посетителей обозначается как N, а цена обеда — P. По условию задачи, зависимость между количеством посетителей и ценой линейная. Запишем уравнение прямой, которая связывает эти величины. Для этого используем два известных значения:
- При P = 120, N = 70.
- При P = 100, N = 80.
Составим систему уравнений для линейной зависимости:
N = aP + b
Подставим значения P = 120, N = 70:
70 = 120a + b (1)
Подставим значения P = 100, N = 80:
80 = 100a + b (2)
Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):
(70 - 80) = (120a - 100a)
-10 = 20a
a = -10 / 20 = -0,5
Теперь подставим найденное значение a в одно из уравнений, например, в уравнение (2):
80 = 100(-0,5) + b
80 = -50 + b
b = 80 + 50 = 130
Таким образом, функция, описывающая зависимость числа посетителей от цены обеда, имеет вид:
N = -0,5P + 130
2. Функция прибыли:
Прибыль — это разница между выручкой и издержками.
- Выручка R = P * N, где P — цена обеда, N — количество посетителей.
- Издержки состоят из фиксированных и переменных. Общие издержки:
C = 900 + 40N.
Прибыль будет равна разнице между выручкой и издержками:
Profit = R - C
Profit = P * N - (900 + 40N)
Подставим N = -0,5P + 130 в выражение для прибыли:
Profit = P * (-0,5P + 130) - (900 + 40(-0,5P + 130))
Раскроем скобки:
Profit = P * (-0,5P) + P * 130 - 900 - 40(-0,5P + 130)
Profit = -0,5P² + 130P - 900 + 20P - 5200
Profit = -0,5P² + 150P - 6100
3. Максимизация прибыли:
Для нахождения максимального значения прибыли, нужно найти производную функции прибыли по P и приравнять её к нулю:
d(Profit)/dP = -P + 150 = 0
P = 150
Теперь подставим P = 150 в функцию прибыли:
Profit = -0,5(150)² + 150(150) - 6100
Profit = -0,5(22500) + 22500 - 6100
Profit = -11250 + 22500 - 6100
Profit = 11250 - 6100
Profit = 5150
Ответ: Максимальная прибыль составляет 5150 р.