дано:
Хорда MN окружности равна половине диаметра окружности.
найти:
Доказать, что величина угла MAN, вписанного в окружность, равна 30°.
решение:
1. Пусть радиус окружности равен R. Тогда диаметр окружности равен 2R.
2. Хорда MN равна половине диаметра:
MN = (1/2) * (2R) = R.
3. Рассмотрим треугольник OMN, где O — центр окружности.
4. В этом треугольнике OM = ON = R (радиусы окружности).
5. Треугольник OMN является равнобедренным с основанием MN и боковыми сторонами OM и ON.
6. Чтобы найти угол MAN, сначала найдем угол MON (центральный угол), который опирается на хорду MN.
7. Используем теорему о косинусах для треугольника OMN:
MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 * OM * ON * cos(MON).
8. Подставим значения:
R^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos(MON).
9. Упростим уравнение:
R^2 = 2R^2(1 - cos(MON)).
10. Разделим обе стороны на R^2:
1 = 2(1 - cos(MON)).
11. Раскроем скобки:
1 = 2 - 2cos(MON).
12. Переносим 2 на левую сторону:
2cos(MON) = 1.
13. Найдем cos(MON):
cos(MON) = 1/2.
14. Следовательно, угол MON равен 60° (так как cos(60°) = 1/2).
15. Вписанный угол MAN будет равен половине центрального угла MON:
MAN = 1/2 * MON = 1/2 * 60° = 30°.
ответ:
Величина угла MAN, вписанного в окружность, равна 30°.