дано:
Окружности касаются друг друга внутренним образом. Меньшая окружность проходит через центр большей.
найти:
Докажите, что меньшая окружность делит пополам любую хорду большей окружности, проведённую из точки касания.
решение:
1. Пусть O1 — центр большей окружности, а O2 — центр меньшей окружности. Пусть они касаются в точке P, и радиус меньшей окружности равен O2P.
2. Хорда AB проведена через точку касания P. Нужно доказать, что меньшая окружность делит эту хорду пополам.
3. Радиус меньшей окружности O2P проходит через точку P и является перпендикулярным к хорде AB, так как меньшая окружность проходит через центр большей.
4. По свойствам касающихся окружностей, линия, соединяющая их центры (O1 и O2), будет перпендикулярна хорде AB в точке P. То есть линия O2P перпендикулярна AB.
5. Следовательно, точка P является серединой хорды AB, так как перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, всегда делит хорду пополам.
ответ:
Меньшая окружность делит пополам любую хорду большей окружности, проведённую из точки касания.