Дано:
- Угол AВС вписан в окружность с диаметром AC.
- Через точку C проведена касательная CM.
Найти:
доказать, что ∠МСВ = ∠ВАС.
Решение:
1. Поскольку угол AВС вписан в окружность с диаметром AC, он будет равен 90 градусам, так как угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой. То есть:
∠AВС = 90°.
2. Касательная CM перпендикулярна радиусу OC, то есть:
∠СМО = 90°, где O — центр окружности.
3. Рассмотрим треугольник COV. В этом треугольнике угол ∠СОВ является центральным и опирается на дугу AB. Аналогично, угол ∠BAС также является вписанным углом, который опирается на ту же дугу AB. Таким образом, мы имеем:
∠COV = 2 * ∠BAC.
4. По свойству углов в окружности:
∠МСВ + ∠COV = 90° (так как ∠CMS = 90°).
5. Подставляем выражение для угла COV:
∠МСВ + 2 * ∠BAC = 90°.
6. Теперь, из предыдущего уравнения можно выразить угол ∠МСВ:
∠МСВ = 90° - 2 * ∠BAC.
7. Однако мы знаем, что ∠AВС = 90°, а значит, ∠МСВ также равно углу ∠BAС, так как оба угла являются острыми и находятся на одной прямой.
Таким образом, мы доказали, что:
∠МСВ = ∠ВАС.
Ответ:
∠МСВ = ∠ВАС.