дано: равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, описана окружность с центром O, угол ∠ABC = 56°.
найти:
1) доказать, что ∠AOB = ∠COB;
2) найти угол ∠AOC.
решение:
1) В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC углы при основании равны. То есть ∠ABC = ∠ACB. Таким образом, углы ∠AOB и ∠COB являются углами между радиусами окружности, проведенными к точкам B и C. Поскольку треугольник равнобедренный, то окружность симметрична относительно оси, проходящей через вершину A и центр окружности O. Это означает, что углы ∠AOB и ∠COB равны, так как угол между радиусами, проведенными к точкам, расположенным симметрично относительно оси симметрии, всегда одинаков. Следовательно, ∠AOB = ∠COB.
2) Теперь найдем угол ∠AOC. Из геометрии окружности известно, что угол, образованный двумя радиусами, равен углу, под которым эти радиусы видны из точки на окружности. Поскольку треугольник равнобедренный, угол ∠AOB является углом между радиусами, проведенными к точкам B и C. Угол ∠AOC = 2 * угол ∠ABC, так как угол между двумя радиусами, соединяющими центр окружности с вершинами треугольника, равен удвоенному углу при основании треугольника (это свойство для равнобедренного треугольника с описанной окружностью).
Таким образом, ∠AOC = 2 * ∠ABC = 2 * 56° = 112°.
ответ:
1) ∠AOB = ∠COB.
2) ∠AOC = 112°.