дано: вершины вписанного в окружность треугольника делят её в отношении 3 : 2 : 1, большая сторона треугольника равна 17 см.
найти: радиус окружности, описанной около треугольника.
решение:
1. Обозначим стороны треугольника как a, b и c, где a — это большая сторона, равная 17 см.
2. Поскольку вершины треугольника делят окружность в отношении 3 : 2 : 1, то длины дуг, которые лежат напротив сторон a, b и c, пропорциональны этим отношениям. Таким образом:
a : b : c = 3 : 2 : 1.
3. Из этого соотношения можно выразить стороны треугольника:
a = 17 см,
b = (17 * 2) / 3 ≈ 11.33 см,
c = (17 * 1) / 3 ≈ 5.67 см.
4. Теперь применим формулу для радиуса описанной окружности. Радиус R окружности, описанной около треугольника, можно найти через его стороны и площадь по формуле:
R = (abc) / (4S),
где S — площадь треугольника, а p — полупериметр, равный (a + b + c) / 2.
5. Площадь треугольника можно найти через формулу Герона:
p = (a + b + c) / 2 ≈ (17 + 11.33 + 5.67) / 2 ≈ 17.
Теперь вычислим площадь треугольника:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) ≈ √(17 * (17 - 17) * (17 - 11.33) * (17 - 5.67)) ≈ 45.65 см².
6. Подставим все данные в формулу для радиуса:
R = (17 * 11.33 * 5.67) / (4 * 45.65) ≈ 7.34 см.
ответ: радиус окружности, описанной около треугольника, равен примерно 7.34 см.