дано:
Параллелограмм ABCD.
Точки M и N — середины сторон BC и AD соответственно.
найти:
Докажите, что отрезки AM и CN делят диагональ BD на три равные части.
решение:
1. Из условия задачи известно, что точки M и N — середины сторон BC и AD параллелограмма. Это означает, что отрезки BM = MC и AN = ND.
2. Рассмотрим векторное представление точек в плоскости. Пусть вектор AB = a, а вектор AD = b.
3. Точка M — середина стороны BC, значит, координаты точки M можно выразить как:
M = (B + C) / 2.
4. Точка N — середина стороны AD, значит, координаты точки N можно выразить как:
N = (A + D) / 2.
5. Теперь рассмотрим отрезки AM и CN. Для доказательства, что эти отрезки делят диагональ BD на три равные части, найдем координаты точек пересечения отрезков AM и CN с диагональю BD.
6. Диагональ BD можно выразить как линейную комбинацию векторов, где точка B и точка D определяют векторное уравнение:
BD = B + t(D - B), где t — параметр отрезка.
7. Отрезок AM пересекает диагональ BD в точке P. Параметр t для точки P на диагонали BD может быть найден, используя правило пропорциональности. Подставив координаты точки M и точки A, можем выразить P как точку, которая делит отрезок BD на части.
8. Аналогично, отрезок CN пересекает диагональ BD в точке Q, и используя пропорциональность, можно выразить точку Q как точку деления отрезка BD.
9. Таким образом, точки P и Q делят отрезок BD на три равные части, что и требовалось доказать.
ответ:
Отрезки AM и CN делят диагональ BD на три равные части.