Дано: параллелограмм ABCD, проведены перпендикуляры от точек B, M и D к диагонали AC, образуя треугольники HBM и MDH.
Найти: показать, что треугольники HBM и MDH равны.
Решение:
1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O и делят друг друга пополам. То есть AO = OC и BO = OD.
2. Пусть BM и DM — перпендикуляры, опущенные соответственно из точек B и D на диагональ AC. Точки пересечения перпендикуляров с диагональю обозначены как H и M соответственно.
3. Треугольники HBM и MDH имеют следующие общие элементы:
- Отрезки BM и DM — это перпендикуляры, следовательно, они равны между собой по длине.
- Угол HBM и угол MDH равны, так как это прямые углы (BM и DM перпендикулярны к AC).
- Боковые стороны: BM и DM равны по условию задачи (перпендикуляры одинаковой длины), а также угол между ними одинаков.
4. Из этих фактов следует, что треугольники HBM и MDH равны по признаку прямоугольных треугольников с гипотенузами, равными и углом, равным 90 градусам.
Кроме того, можно доказать, что треугольники:
- ∆BOM и ∆DOL равны, так как они обе являются прямоугольными треугольниками и имеют общие элементы.