Дано: параллелограмм ABCD, точка О — точка пересечения диагоналей параллелограмма, точки K, L, M и N — середины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD соответственно.
Найти: можно ли утверждать, что четырёхугольник KLMN — параллелограмм?
Решение:
1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О и делят друг друга пополам. То есть:
- OA = OC
- OB = OD
2. Точки K, L, M и N — середины отрезков, следовательно:
- ОК = КА/2
- ОL = LB/2
- ОМ = MC/2
- ОN = ND/2
3. Для того чтобы четырёхугольник KLMN был параллелограммом, необходимо, чтобы противоположные стороны были равны и параллельны. Для этого проверим векторы, которые описывают стороны четырёхугольника.
Сначала найдём векторы для сторон KLMN:
- Вектор KL = L - K
- Вектор LM = M - L
- Вектор MN = N - M
- Вектор NK = K - N
Теперь нужно проверить, что противоположные стороны KLMN параллельны:
- Вектор KL должен быть параллелен вектору MN.
- Вектор LM должен быть параллелен вектору NK.
4. Рассмотрим векторы от точки О к точкам K, L, M, N:
- Вектор OK = (1/2) * вектор OA
- Вектор OL = (1/2) * вектор OB
- Вектор OM = (1/2) * вектор OC
- Вектор ON = (1/2) * вектор OD
5. Тогда векторы для сторон KLMN можно записать как:
- Вектор KL = OL - OK = (1/2) * (OB - OA)
- Вектор LM = OM - OL = (1/2) * (OC - OB)
- Вектор MN = ON - OM = (1/2) * (OD - OC)
- Вектор NK = OK - ON = (1/2) * (OA - OD)
6. Заметим, что:
- Вектор KL параллелен вектору MN, так как они оба пропорциональны разности векторов OA и OD.
- Вектор LM параллелен вектору NK, так как они оба пропорциональны разности векторов OB и OC.
Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника KLMN параллельны, что означает, что четырёхугольник KLMN является параллелограммом.
Ответ: Да, четырёхугольник KLMN является параллелограммом.