Точка  О  —  точка  пересечения  диагоналей  параллелограмма  ABCD.  Точки K, L, M  и  N — середины  отрезков ОА, ОВ, ОС  и  OD  соответственно.  Можно  ли  утверждать,  что  четырёхугольник  KLMN — параллелограмм?
от

1 Ответ

Дано: параллелограмм ABCD, точка О — точка пересечения диагоналей параллелограмма, точки K, L, M и N — середины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD соответственно.

Найти: можно ли утверждать, что четырёхугольник KLMN — параллелограмм?

Решение:

1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О и делят друг друга пополам. То есть:
   - OA = OC
   - OB = OD
2. Точки K, L, M и N — середины отрезков, следовательно:
   - ОК = КА/2
   - ОL = LB/2
   - ОМ = MC/2
   - ОN = ND/2
3. Для того чтобы четырёхугольник KLMN был параллелограммом, необходимо, чтобы противоположные стороны были равны и параллельны. Для этого проверим векторы, которые описывают стороны четырёхугольника.

Сначала найдём векторы для сторон KLMN:
- Вектор KL = L - K
- Вектор LM = M - L
- Вектор MN = N - M
- Вектор NK = K - N

Теперь нужно проверить, что противоположные стороны KLMN параллельны:
- Вектор KL должен быть параллелен вектору MN.
- Вектор LM должен быть параллелен вектору NK.

4. Рассмотрим векторы от точки О к точкам K, L, M, N:
- Вектор OK = (1/2) * вектор OA
- Вектор OL = (1/2) * вектор OB
- Вектор OM = (1/2) * вектор OC
- Вектор ON = (1/2) * вектор OD

5. Тогда векторы для сторон KLMN можно записать как:
- Вектор KL = OL - OK = (1/2) * (OB - OA)
- Вектор LM = OM - OL = (1/2) * (OC - OB)
- Вектор MN = ON - OM = (1/2) * (OD - OC)
- Вектор NK = OK - ON = (1/2) * (OA - OD)

6. Заметим, что:
- Вектор KL параллелен вектору MN, так как они оба пропорциональны разности векторов OA и OD.
- Вектор LM параллелен вектору NK, так как они оба пропорциональны разности векторов OB и OC.

Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника KLMN параллельны, что означает, что четырёхугольник KLMN является параллелограммом.

Ответ: Да, четырёхугольник KLMN является параллелограммом.
от