На  диагонали  BD  параллелограмма  АВСD  отметили  точки  М  и  N  так,  что ВМ = DN.  Докажите,  что  четырёхугольник  АМСN — параллелограмм
от

1 Ответ

дано:  
Параллелограмм ABCD, точки M и N на диагонали BD, такие что BM = DN.

найти:  
Докажите, что четырехугольник AMCS является параллелограммом.

решение:  
1. Рассмотрим треугольники ABM и CDN.
   
   Доказательство равенства этих треугольников:
   - Сторона AB равна стороне CD (параллелограмма).
   - Углы ∠ABM и ∠CDN равны, так как они являются накрест лежащими углами (при пересечении двух параллельных линий — AD и BC линией BD).
   - Сторона BM равна стороне DN по условию.

   Таким образом, по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), получаем:
   ∆ABM = ∆CDN.

2. Из равенства треугольников следует, что:
   - Сторона AM равна стороне CN.
   - Сторона MB равна стороне ND.

3. Теперь рассмотрим стороны четырехугольника AMSN:
   - AM || CN (так как стороны равны и расположены параллельно из равенства треугольников).
   - AS || MN (по аналогии).

4. Если в четирехугольнике две пары противоположных сторон равны и параллельны, то данный четырехугольник является параллелограммом.

ответ:  
Четырехугольник AMCS является параллелограммом.
от