дано:
Параллелограмм ABCD, точки M и N — середины сторон AD и BC соответственно.
найти:
Докажите, что четырехугольник ANCM является параллелограммом.
решение:
1. По определению, M и N являются серединами отрезков AD и BC. Это значит, что:
AM = MD и BN = NC.
2. Рассмотрим векторы:
- Вектор AM = 0.5 * AD
- Вектор CN = 0.5 * BC
3. Поскольку ABCD — параллелограмм, то стороны AB и CD равны и параллельны, то есть:
AB || CD и AB = CD.
4. Из этого следует, что векторы AB и CD можно выразить как:
BC = AD (так как они противоположные стороны параллелограмма).
5. Теперь, учитывая, что M и N — середины сторон, можно записать:
AC = AM + MC
и
AN = AB + BN.
6. Но так как MN является отрезком между серединами двух параллельных сторон (AD и BC), он будет параллелен этим сторонам, и длина его равна половине длины отрезка AD:
MN || AC.
7. Таким образом, мы можем сказать, что:
AN || MC (поскольку AN = AB + BN и MN соответствует середине отрезка BC).
8. Также видно, что:
MN || AC, а поскольку обе пары противоположных сторон (AN и MC) равны и параллельны, это доказывает, что четырехугольник ANCM является параллелограммом.
ответ:
Четырехугольник ANCM является параллелограммом.