Точки  М   и   N — соответственно  середины  сторон АD   и   ВС   параллелограмма АВСD.  Докажите,  что  четырёхугольник  АNCM — параллелограмм
от

1 Ответ

дано:  
Параллелограмм ABCD, точки M и N — середины сторон AD и BC соответственно.

найти:  
Докажите, что четырехугольник ANCM является параллелограммом.

решение:  
1. По определению, M и N являются серединами отрезков AD и BC. Это значит, что:
   AM = MD и BN = NC.

2. Рассмотрим векторы:
   - Вектор AM = 0.5 * AD
   - Вектор CN = 0.5 * BC

3. Поскольку ABCD — параллелограмм, то стороны AB и CD равны и параллельны, то есть:
   AB || CD и AB = CD.

4. Из этого следует, что векторы AB и CD можно выразить как:
   BC = AD (так как они противоположные стороны параллелограмма).

5. Теперь, учитывая, что M и N — середины сторон, можно записать:
   AC = AM + MC
   и
   AN = AB + BN.

6. Но так как MN является отрезком между серединами двух параллельных сторон (AD и BC), он будет параллелен этим сторонам, и длина его равна половине длины отрезка AD:
   MN || AC.

7. Таким образом, мы можем сказать, что:
   AN || MC (поскольку AN = AB + BN и MN соответствует середине отрезка BC).

8. Также видно, что:
   MN || AC, а поскольку обе пары противоположных сторон (AN и MC) равны и параллельны, это доказывает, что четырехугольник ANCM является параллелограммом.

ответ:  
Четырехугольник ANCM является параллелограммом.
от