Дано:
- Ромб ABCD.
- Меньшая диагональ ромба d1 = 5 (в СИ, метры).
- Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, образует угол 30° со стороной ромба.
Найти:
Периметр ромба.
Решение:
1. Обозначим сторону ромба через a.
2. Меньшая диагональ ромба делит его на два прямоугольных треугольника, и в каждом из этих треугольников гипотенуза является стороной ромба a, а одна из катетов — половина меньшей диагонали, то есть d1/2 = 5/2 = 2,5 м.
3. Высота, проведенная из вершины тупого угла, является одной из сторон прямоугольного треугольника, и угол между высотой и стороной ромба составляет 30°.
4. Используем тригонометрию. Для нахождения стороны ромба a воспользуемся тем, что синус угла 30° равен отношению высоты h к стороне ромба a:
sin(30°) = h / a.
Значение синуса 30° равно 1/2, поэтому:
1/2 = h / a, отсюда h = a / 2.
5. Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, где одна катета — это половина меньшей диагонали (2,5 м), а второй катет — это высота h:
a² = (2,5)² + (a / 2)².
6. Подставим значения и решим уравнение:
a² = 6,25 + a² / 4.
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
4a² = 25 + a².
Переносим a² на одну сторону:
3a² = 25.
Делим обе части на 3:
a² = 25 / 3 ≈ 8,33.
a ≈ √8,33 ≈ 2,89 м.
7. Периметр ромба равен 4 * a:
P = 4 * 2,89 ≈ 11,56 м.
Ответ: Периметр ромба приблизительно равен 11,56 м.