дано:
Треугольник ABC с прямым углом в точке C. Квадрат CMNP, где стороны CM и CN лежат на катетах, а вершина P — на гипотенузе треугольника ABC. Известно, что AC = CB = 10 см.
найти:
Периметр квадрата.
решение:
1. Поскольку треугольник ABC прямоугольный и катеты равны (AC = BC = 10 см), это равнобедренный прямоугольный треугольник.
2. Гипотенуза AB треугольника вычисляется по теореме Пифагора:
AB = √(AC² + BC²) = √(10² + 10²) = √200 = 10√2 см.
3. Пусть длина стороны квадрата CM = CN = x см.
4. Поскольку вершина P квадрата лежит на гипотенузе AB, то расстояние от точки P до каждой из сторон квадрата будет равно x. Поскольку квадрат вписан в прямоугольный треугольник, и его стороны параллельны катетам, то сторона квадрата x пропорциональна катетам.
5. Расстояние от точки P до гипотенузы можно найти с помощью подобия треугольников. Для этого нужно заметить, что треугольники CMP и CNP подобны треугольнику ABC, так как угол C общий и углы при вершинах M и N прямые.
6. Таким образом, сторона квадрата x = AC / (1 + √2), так как коэффициент пропорциональности между катетами и гипотенузой треугольников равен (1 + √2).
7. Подставим численные значения:
x = 10 / (1 + √2) ≈ 10 / 2.414 ≈ 4.14 см.
8. Периметр квадрата равен 4 * x:
Периметр = 4 * 4.14 ≈ 16.56 см.
ответ:
Периметр квадрата равен примерно 16.56 см.