Дано:
- трапеция ABCD равнобедренная;
- основания BC и AD;
- диагонали AC и BD пересекаются в точке О.
Найти: доказать, что AO = OD и BO = OC.
Решение:
1. Так как трапеция ABCD равнобедренная, то боковые стороны AB и CD равны. Это означает, что угол ∠DAB = ∠CBA и угол ∠ADC = ∠BCD.
2. Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Эти треугольники имеют общую точку пересечения диагоналей О.
3. В треугольниках AOD и BOC:
- угол ∠AOD = угол ∠BOC (углы противолежащих сторон трапеции равнобедренной);
- сторона AD = сторона BC (по определению равнобедренной трапеции);
- сторона AO = сторона BO (по равенству углов, получаемым из пересечения диагоналей).
4. Таким образом, по признаку равенства треугольников (угол - сторона - угол) треугольники AOD и BOC равны.
5. Из равенства треугольников следует, что AO = OD и BO = OC.
Ответ: AO = OD и BO = OC.