Дано:
- большая боковая сторона трапеции (с) = 15 см;
- радиус вписанной окружности (r) = 4 см.
Найти: среднюю линию прямоугольной трапеции.
Решение:
1. Обозначим следующие элементы трапеции:
- a — верхнее основание трапеции;
- b — нижнее основание трапеции;
- h — высота трапеции;
- s — большая боковая сторона трапеции.
2. В прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, радиус вписанной окружности (r) равен половине разности длин оснований, деленной на высоту. Это можно записать так:
r = (b - a) / (2h).
3. Также известно, что высота трапеции (h) и боковая сторона (s) связаны через теорему Пифагора, так как трапеция прямоугольная. Таким образом, высоту можно выразить как:
h = √(s² - (b - a)²).
4. Теперь можем подставить известные значения и найти среднюю линию трапеции (m), которая равна полусумме оснований:
m = (a + b) / 2.
Решим задачу поэтапно.
1. Сначала найдем высоту трапеции (h) через радиус окружности. Подставим значение радиуса (r = 4 см) в формулу для радиуса вписанной окружности:
4 = (b - a) / (2h).
Это можно переписать как:
b - a = 8h.
2. Далее, применим теорему Пифагора для нахождения высоты трапеции (h):
h = √(15² - (b - a)²) = √(225 - (b - a)²).
Подставим b - a = 8h:
h = √(225 - (8h)²).
3. Решим это уравнение для h.
h = √(225 - 64h²).
Возводим обе стороны в квадрат:
h² = 225 - 64h².
Переносим все на одну сторону:
65h² = 225.
h² = 225 / 65.
h = √(225 / 65) ≈ √3,46 ≈ 1,86 см.
4. Теперь, зная h, найдем среднюю линию трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
m = (a + b) / 2.
Мы знаем, что b - a = 8h = 8 * 1,86 ≈ 14,88 см.
Следовательно, средняя линия трапеции:
m ≈ (a + b) / 2 = (14,88 + 15) / 2 ≈ 29,88 / 2 ≈ 14,94 см.
Ответ: средняя линия трапеции примерно равна 14,94 см.