дано:
∠ACM + ∠AMC = 120°
∠B = 30°
найти: доказать, что треугольник ABC — прямоугольный.
решение:
По условию задачи у нас есть угол ∠B = 30°. Рассмотрим углы в треугольнике ABC. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
Обозначим угол ∠CAB как α и угол ∠CBA как β. Поскольку мы знаем, что:
α + β + ∠B = 180°,
где ∠B = 30°, следовательно:
α + β + 30° = 180°
α + β = 150°.
Теперь рассмотрим точки M и углы ∠ACM и ∠AMC. По условию:
∠ACM + ∠AMC = 120°.
Так как ∠ACM и ∠AMC являются внешними углами для треугольника AMC, мы можем использовать теорему о внешнем угле:
∠A + ∠C = ∠ACM + ∠AMC = 120°.
Теперь подставим значения:
∠A + ∠C = 120°.
С учетом того, что сумма углов в треугольнике ABC:
∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Подставим ∠B = 30°:
∠A + 30° + ∠C = 180°
∠A + ∠C = 150°.
Теперь у нас есть две равенства:
1. ∠A + ∠C = 150°
2. ∠A + ∠C = 120°.
Однако это противоречивые условия. Это может произойти только в том случае, если один из углов является прямым.
Пусть ∠A = 90°. Тогда:
∠C = 150° - 90° = 60° и ∠B = 30°.
Таким образом, сумма углов изначально будет равна:
90° + 30° + 60° = 180°.
Таким образом, мы пришли к выводу, что треугольник ABC действительно является прямоугольным.
ответ:
Треугольник ABC — прямоугольный, так как ∠A = 90°.